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3. 若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - y = m,\\x + my = n\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases}$则$\vert m - n\vert$为( )。
A.$1$
B.$3$
C.$5$
D.$2$
A.$1$
B.$3$
C.$5$
D.$2$
答案
D
解析
将解$x = 2$，$y = 1$代入方程组：
$\begin{cases}2× 2 - 1 = m\\2 + m× 1 = n\end{cases}$
即：
$\begin{cases}4 - 1 = m\\2 + m = n\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}m = 3\\n = 2 + 3 = 5\end{cases}$
所以$\vert m - n\vert=\vert 3 - 5\vert = 2$。
$\begin{cases}2× 2 - 1 = m\\2 + m× 1 = n\end{cases}$
即：
$\begin{cases}4 - 1 = m\\2 + m = n\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}m = 3\\n = 2 + 3 = 5\end{cases}$
所以$\vert m - n\vert=\vert 3 - 5\vert = 2$。
4. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法，粟率五十，粝米三十。今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？”意思为：$50$斗谷子能出$30$斗米，即出米率为$\dfrac{3}{5}$。今有米在容量为$10$斗的桶中，但不知道数量是多少。向桶中加满谷子，再舂成米，共得米$7$斗。问原来有米多少斗？如果设原来有米$x$斗，向桶中加谷子$y$斗，那么可列方程组为()。
A.$\begin{cases}x + y = 10,\\x+\dfrac{3}{5}y = 7\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 10,\\\dfrac{3}{5}x + y = 7\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 7,\\x+\dfrac{5}{3}y = 10\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 7,\\\dfrac{5}{3}x + y = 10\end{cases}$
A.$\begin{cases}x + y = 10,\\x+\dfrac{3}{5}y = 7\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 10,\\\dfrac{3}{5}x + y = 7\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 7,\\x+\dfrac{5}{3}y = 10\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 7,\\\dfrac{5}{3}x + y = 10\end{cases}$
答案
A
解析
设原来有米$x$斗，向桶中加谷子$y$斗，根据题意桶容量为$10$斗，可得$x + y = 10$；
又因为$50$斗谷子能出$30$斗米，即出米率为$\frac{3}{5}$，向桶中加谷子$y$斗可舂出$\frac{3}{5}y$斗米，原来有米$x$斗，共得米$7$斗，可得$x+\frac{3}{5}y = 7$。
所以可列方程组为$\begin{cases}x + y = 10,\\x+\frac{3}{5}y = 7\end{cases}$。
又因为$50$斗谷子能出$30$斗米，即出米率为$\frac{3}{5}$，向桶中加谷子$y$斗可舂出$\frac{3}{5}y$斗米，原来有米$x$斗，共得米$7$斗，可得$x+\frac{3}{5}y = 7$。
所以可列方程组为$\begin{cases}x + y = 10,\\x+\frac{3}{5}y = 7\end{cases}$。
5. 若方程$x^{\vert m\vert - 2}+(m + 3)y = 6$是关于$x$，$y$的二元一次方程，则$m=$。
答案
3
解析
因为方程是二元一次方程，所以x的次数为1，y的系数不为0。
对于x的次数：|m| - 2 = 1，解得|m| = 3，m = ±3。
对于y的系数：m + 3 ≠ 0，解得m ≠ -3。
综上，m = 3。
对于x的次数：|m| - 2 = 1，解得|m| = 3，m = ±3。
对于y的系数：m + 3 ≠ 0，解得m ≠ -3。
综上，m = 3。
知识点1 二元一次方程的概念
1. (2024昆明期末)下列方程中，是二元一次方程的是()。
A.$xy = 1$
B.$2x + 3y = 1$
C.$x - 2y = z$
D.$\dfrac{1}{x}+y = 1$
1. (2024昆明期末)下列方程中，是二元一次方程的是()。
A.$xy = 1$
B.$2x + 3y = 1$
C.$x - 2y = z$
D.$\dfrac{1}{x}+y = 1$
答案
B
解析
二元一次方程是指含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程。
选项A：$xy = 1$，未知数的次数和为2，不是二元一次方程。
选项B：$2x + 3y = 1$，符合二元一次方程的定义。
选项C：$x - 2y = z$，含有三个未知数，不是二元一次方程。
选项D：$\frac{1}{x} + y = 1$，$\frac{1}{x}$不是整式，不是二元一次方程。
选项A：$xy = 1$，未知数的次数和为2，不是二元一次方程。
选项B：$2x + 3y = 1$，符合二元一次方程的定义。
选项C：$x - 2y = z$，含有三个未知数，不是二元一次方程。
选项D：$\frac{1}{x} + y = 1$，$\frac{1}{x}$不是整式，不是二元一次方程。
2. (2024曲靖期末)若$(a - 2)x^{\vert a - 1\vert}-3y = 5$是关于$x$，$y$的二元一次方程，则$a$的值为()。
A.$0$
B.$2$
C.$0$或$2$
D.$1$或$2$
A.$0$
B.$2$
C.$0$或$2$
D.$1$或$2$
答案
A
解析
根据二元一次方程的定义，方程中$x$和$y$的最高次数都应为$1$，且它们的系数不为$0$。
由于$(a - 2)x^{\vert a - 1\vert}-3y = 5$是关于$x$，$y$的二元一次方程，
所以可以得到以下两个条件：
$|a - 1| = 1$，以确保$x$的次数为$1$，
$a - 2 ≠ 0$，以确保$x$的系数不为$0$，
首先解第一个条件$|a - 1| = 1$，可以得到两个$a - 1 = 1$ 或 $a - 1 = -1$，
解得$a = 2$ 或 $a = 0$，
然后考虑第二个条件$a - 2 ≠ 0$，排除$a = 2$，所以只剩下$a = 0$，
所以，只有$a = 0$满足所有条件。
由于$(a - 2)x^{\vert a - 1\vert}-3y = 5$是关于$x$，$y$的二元一次方程，
所以可以得到以下两个条件：
$|a - 1| = 1$，以确保$x$的次数为$1$，
$a - 2 ≠ 0$，以确保$x$的系数不为$0$，
首先解第一个条件$|a - 1| = 1$，可以得到两个$a - 1 = 1$ 或 $a - 1 = -1$，
解得$a = 2$ 或 $a = 0$，
然后考虑第二个条件$a - 2 ≠ 0$，排除$a = 2$，所以只剩下$a = 0$，
所以，只有$a = 0$满足所有条件。
知识点2 二元一次方程组的概念
3. (2024昆明期中)下列方程组中，是二元一次方程组的是()。
A.$\begin{cases}x + y = 3,\\5x - y = 7\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 2y = 6,\\xy = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x - y = 1,\\2x + z = 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x - y = 5,\\\dfrac{1}{x}+2x = 6\end{cases}$
3. (2024昆明期中)下列方程组中，是二元一次方程组的是()。
A.$\begin{cases}x + y = 3,\\5x - y = 7\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 2y = 6,\\xy = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x - y = 1,\\2x + z = 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x - y = 5,\\\dfrac{1}{x}+2x = 6\end{cases}$
答案
A
解析
根据二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的次数都是1的方程组。
选项A：含有两个未知数x、y，每个方程都是一次整式方程，符合定义。
选项B：第二个方程xy=1中未知数的次数是2，不是一次方程，不符合。
选项C：含有三个未知数x、y、z，不符合“二元”要求。
选项D：第二个方程$\dfrac{1}{x}+2x = 6$不是整式方程，不符合。
综上，是二元一次方程组的是A。
选项A：含有两个未知数x、y，每个方程都是一次整式方程，符合定义。
选项B：第二个方程xy=1中未知数的次数是2，不是一次方程，不符合。
选项C：含有三个未知数x、y、z，不符合“二元”要求。
选项D：第二个方程$\dfrac{1}{x}+2x = 6$不是整式方程，不符合。
综上，是二元一次方程组的是A。
知识点3 二元一次方程的解
4. 下列四组解中，不是二元一次方程$3x - y = 6$的解的是()。
A.$\begin{cases}x = 0,\\y = 6\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 0\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 4,\\y = 6\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = - 3,\\y = - 15\end{cases}$
4. 下列四组解中，不是二元一次方程$3x - y = 6$的解的是()。
A.$\begin{cases}x = 0,\\y = 6\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 0\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 4,\\y = 6\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = - 3,\\y = - 15\end{cases}$
答案
A
解析
将各选项代入方程$3x - y = 6$验证：
A. 当$x=0$，$y=6$时，$3×0 - 6 = -6 ≠ 6$，不是方程的解；
B. 当$x=2$，$y=0$时，$3×2 - 0 = 6 = 6$，是方程的解；
C. 当$x=4$，$y=6$时，$3×4 - 6 = 6 = 6$，是方程的解；
D. 当$x=-3$，$y=-15$时，$3×(-3) - (-15) = -9 + 15 = 6 = 6$，是方程的解。
A. 当$x=0$，$y=6$时，$3×0 - 6 = -6 ≠ 6$，不是方程的解；
B. 当$x=2$，$y=0$时，$3×2 - 0 = 6 = 6$，是方程的解；
C. 当$x=4$，$y=6$时，$3×4 - 6 = 6 = 6$，是方程的解；
D. 当$x=-3$，$y=-15$时，$3×(-3) - (-15) = -9 + 15 = 6 = 6$，是方程的解。
5. 关于$x$，$y$的二元一次方程$3x + y = 2026$的解，下列说法中正确的是()。
A.有无数组解
B.只有一组解
C.无解
D.无法确定
A.有无数组解
B.只有一组解
C.无解
D.无法确定
答案
A
解析
二元一次方程$3x + y = 2026$中，对于任意给定的一个$x$值，都可以求出对应的$y$值，所以该方程有无数组解。
6. (2024玉溪期末)若$\begin{cases}x = 1,\\y = - 1\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$x - ay = 4$的一组解，则$a$的值为 ______ 。
答案
3
解析
将$\begin{cases}x = 1,\\y = - 1\end{cases}$代入方程$x - ay = 4$，得$1 - a × (-1) = 4$，即$1 + a = 4$，解得$a = 3$。
知识点4 二元一次方程组的解
7. 方程组$\begin{cases}y = 2x,\\3x + y = 15\end{cases}$的解是( )。
A.$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 4,\\y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 4,\\y = 8\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3,\\y = 6\end{cases}$
7. 方程组$\begin{cases}y = 2x,\\3x + y = 15\end{cases}$的解是( )。
A.$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 4,\\y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 4,\\y = 8\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3,\\y = 6\end{cases}$
答案
D
解析
将第一个方程$y = 2x$代入第二个方程$3x + y = 15$中，得到$3x + 2x = 15$，即$5x = 15$，解得$x = 3$。然后将$x = 3$代入$y = 2x$，得$y = 2×3 = 6$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 6\end{cases}$。
