【变式 2】一汽艇顺流航行 36 km 与逆流航行 24 km 的时间都是 3 h，如果设汽艇在静水中的速度为 x km/h，水流速度为 y km/h，那么下面所列方程组正确的是().
A.$\begin{cases}3(x - y) = 36, \\ 3(x + y) = 24\end{cases}$
B.$\begin{cases}3(x - y) = 24, \\ 3(x + y) = 36\end{cases}$
C.$\begin{cases}x - y = 36, \\ x + y = 24\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x = 36, \\ 3y = 24\end{cases}$

B

汽艇顺流航行时，实际速度为静水中的速度加上水流速度，即$x + y$，时间为3小时，所以方程为$3(x + y) = 36$。逆流航行时，实际速度为静水中的速度减去水流速度，即$x - y$，时间为3小时，所以方程为$3(x - y) = 24$。因此方程组为：
$\begin{cases}3(x + y) = 36, \\3(x - y) = 24.\end{cases}$

【变式 3】小洪每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼. 两人沿 400 m 环形跑道跑步，在相同时间内，每次总是小洪跑 2 圈，叔叔跑 3 圈.
（1）一天，两人同时同地出发，反向而跑，小洪看了一下计时表，发现隔了 32 s 两人第一次相遇，求两人的速度；
（2）第二天小洪打算和叔叔同时同地出发，同向而跑，看叔叔隔多少时间再次与他相遇，你能给小洪预测一下吗？

（1）小洪速度为$5m/s$，叔叔速度为$7.5m/s$；（题目未给出选项，答案以文字描述代替）
（2）$160$

（1）设小洪的速度为 $2x$ m/s，则叔叔的速度为 $3x$ m/s。
根据题意，两人反向跑时，相对速度为 $2x + 3x = 5x$ m/s。
32秒后相遇，共跑完400米，即：
$5x × 32 = 400$，
解得：$x = 2.5$，
因此，小洪的速度为 $2 × 2.5 = 5$ (m/s)，叔叔的速度为 $3 × 2.5 = 7.5$ (m/s)。
（2）设同向跑时，叔叔隔 $t$ 秒再次与小洪相遇。
此时，叔叔相对于小洪的速度为 $7.5 - 5 = 2.5$ (m/s)。
叔叔需要多跑一圈（400米）才能再次相遇，即：
$2.5t = 400$，
解得：$t = 160$。

1. 根据图中提供的信息，小红去商店买一只水瓶和一只杯子应付().

A.30 元
B.32 元
C.31 元
D.34 元

C

设水瓶单价为x元，杯子单价为y元。根据题意得：$\begin{cases}x+2y=37\\2x+y=56\end{cases}$，两式相加得$3x+3y=93$，即$x+y=31$。

2. 从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路. 如果保持上坡路每小时走 3 km，平路每小时走 4 km，下坡路每小时走 5 km，那么从甲地到乙地需 54 min，从乙地到甲地需 42 min. 设从甲地到乙地上坡路与平路的路程分别为 x km，y km，依题意，所列方程组正确的是().
A.$\begin{cases}\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{5} = \dfrac{42}{60}, \\ \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{54}{60}\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{42}{60}, \\ \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{54}{60}\end{cases}$
C.$\begin{cases}\dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{4} = 42, \\ \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 54\end{cases}$
D.$\begin{cases}\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{5} = 42, \\ \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 54\end{cases}$

本题考查二元一次方程组的实际应用，根据路程、速度、时间的关系列出方程组。
步骤一：分析从甲地到乙地的时间
根据公式$时间 = 路程÷速度$，从甲地到乙地，上坡路每小时走$3km$，平路每小时走$4km$，路程分别为$xkm$，$ykm$，则从甲地到乙地所用时间为$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}$小时，已知从甲地到乙地需$54min$，因为$1$小时$ = 60$分钟，所以$54min=\dfrac{54}{60}$小时，可列方程$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{54}{60}$。
步骤二：分析从乙地到甲地的时间
从乙地到甲地，原来的上坡路变为下坡路，下坡路每小时走$5km$，平路速度不变每小时走$4km$，路程分别为$xkm$，$ykm$，则从乙地到甲地所用时间为$\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}$小时，已知从乙地到甲地需$42min$，$42min=\dfrac{42}{60}$小时，可列方程$\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{42}{60}$。
步骤三：列出方程组
将上述两个方程联立，可得方程组$\begin{cases}\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{42}{60}\\ \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{54}{60}\end{cases}$。
综上，答案是$\boldsymbol{B}$选项 。

3. 课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上 A 区域所得分值和 B 区域所得分值不同，每人投 5 次飞镖，其落点如图所示. 已知小杰和小明的 5 次飞镖总分分别为 39 分和 43 分，则小丽的 5 次飞镖总分为分.

1. 设$A$区域所得分值为$x$分，$B$区域所得分值为$y$分：
根据小杰的得分情况可列方程：$3x + 2y=39$；
根据小明的得分情况可列方程：$2x + 3y = 43$。
2. 解方程组$\begin{cases}3x + 2y=39\\2x + 3y = 43\end{cases}$：
首先对第一个方程$3x + 2y=39$两边同时乘以$2$，得到$6x+4y = 78$；
对第二个方程$2x + 3y = 43$两边同时乘以$3$，得到$6x+9y = 129$。
用$6x + 9y=129$减去$6x + 4y = 78$：
$(6x+9y)-(6x + 4y)=129 - 78$；
去括号得$6x+9y - 6x - 4y=129 - 78$；
合并同类项得$5y=51$，解得$y = 9$。
把$y = 9$代入$3x + 2y=39$，即$3x+2×9 = 39$；
化简得$3x+18 = 39$；
移项得$3x=39 - 18$，$3x=21$，解得$x = 7$。
3. 计算小丽的总分：
小丽的得分是$4x + y$；
把$x = 7$，$y = 9$代入$4x + y$，得$4×7+9$；
根据先乘除后加减的运算顺序，$4×7+9=28 + 9$；
计算得$4×7+9=37$。
所以小丽的$5$次飞镖总分为$37$分。

4. 一艘轮船在相距 90 km 的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用 6 h，逆流航行比顺流航行多用 4 h（该轮船在静水中的速度和水流速度均不变）.
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，则甲、丙两地相距多少千米？