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1. 如图，$a// b$，$AB// CD$，$CE⊥ b$，$FG⊥ b$，$E$，$G$为垂足。下列说法错误的是（ ）
A.$AB = CD$
B.直线$a$，$b$之间的距离是线段$AB$的长
C.$CE = FG$
D.直线$a$，$b$之间的距离是线段$CE$的长
A.$AB = CD$
B.直线$a$，$b$之间的距离是线段$AB$的长
C.$CE = FG$
D.直线$a$，$b$之间的距离是线段$CE$的长
答案
B
解析
【解析】
- 选项A：判断$AB = CD$是否正确
因为$a// b$，$AB// CD$，所以四边形$ABDC$是平行四边形。
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，可得$AB = CD$，故选项A正确。
选项B和D：判断直线$a$，$b$之间的距离
因为$CE⊥ b$，$a// b$，根据两平行线间的距离的定义：从一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。
所以直线$a$，$b$之间的距离是线段$CE$的长，而不是线段$AB$的长，故选项B错误，选项D正确。
选项C：判断$CE = FG$是否正确
因为$CE⊥ b$，$FG⊥ b$，$a// b$，所以$CE// FG$。
又因为$a// b$，所以四边形$CEGF$是平行四边形。
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，可得$CE = FG$，故选项C正确。
【答案】
B
- 选项A：判断$AB = CD$是否正确
因为$a// b$，$AB// CD$，所以四边形$ABDC$是平行四边形。
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，可得$AB = CD$，故选项A正确。
选项B和D：判断直线$a$，$b$之间的距离
因为$CE⊥ b$，$a// b$，根据两平行线间的距离的定义：从一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。
所以直线$a$，$b$之间的距离是线段$CE$的长，而不是线段$AB$的长，故选项B错误，选项D正确。
选项C：判断$CE = FG$是否正确
因为$CE⊥ b$，$FG⊥ b$，$a// b$，所以$CE// FG$。
又因为$a// b$，所以四边形$CEGF$是平行四边形。
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，可得$CE = FG$，故选项C正确。
【答案】
B
2. 如图，$AD// BE$，$AD = BC = 5$，$BE = 8$，$△ DCE$的面积为$6$，则四边形$ABCD$的面积为________。
答案
20
解析
【解析】
过点$D$作$DF⊥ BE$于点$F$。
因为$△ DCE$的面积为$6$，$BE = 8$，$BC = 5$，所以$CE=BE - BC=8 - 5 = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$△ DCE$，$S_{△ DCE}=\frac{1}{2}× CE× DF$，即$6=\frac{1}{2}×3× DF$，解得$DF = 4$。
因为$AD// BE$，所以四边形$ABCD$是梯形，根据梯形面积公式$S=\frac{(a + b)h}{2}$（$a$、$b$为上底和下底，$h$为高），这里$a = AD = 5$，$b = BC = 5$，$h = DF = 4$，则$S_{四边形ABCD}=\frac{(AD + BC)× DF}{2}=\frac{(5 + 5)×4}{2}=20$。
【答案】
$20$
过点$D$作$DF⊥ BE$于点$F$。
因为$△ DCE$的面积为$6$，$BE = 8$，$BC = 5$，所以$CE=BE - BC=8 - 5 = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$△ DCE$，$S_{△ DCE}=\frac{1}{2}× CE× DF$，即$6=\frac{1}{2}×3× DF$，解得$DF = 4$。
因为$AD// BE$，所以四边形$ABCD$是梯形，根据梯形面积公式$S=\frac{(a + b)h}{2}$（$a$、$b$为上底和下底，$h$为高），这里$a = AD = 5$，$b = BC = 5$，$h = DF = 4$，则$S_{四边形ABCD}=\frac{(AD + BC)× DF}{2}=\frac{(5 + 5)×4}{2}=20$。
【答案】
$20$
3. 如图，若在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AD = 2$，$BC = 8$，$AB = CD = 5$，则 $BD=$。
答案
$BD=\sqrt{41}$。
解析
【解析】
过点$D$作$DE// AB$交$BC$于点$E$。
因为$AD// BC$，$DE// AB$，所以四边形$ABED$是平行四边形。
所以$BE = AD = 2$，$DE = AB = 5$。
则$EC = BC - BE = 8 - 2 = 6$。
又因为$AB = CD = 5$，所以$DE = CD = 5$。
在$△ DEC$中，$DE = 5$，$CD = 5$，$EC = 6$，过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$。
因为$DE = CD$，所以$EF = FC=\frac{1}{2}EC = 3$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ DFC$中，根据勾股定理$DF=\sqrt{CD^{2}-FC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
$BF = BE + EF = 2 + 3 = 5$。
在$Rt△ BFD$中，根据勾股定理$BD=\sqrt{BF^{2}+DF^{2}}=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{41}$。
【答案】
$\sqrt{41}$
过点$D$作$DE// AB$交$BC$于点$E$。
因为$AD// BC$，$DE// AB$，所以四边形$ABED$是平行四边形。
所以$BE = AD = 2$，$DE = AB = 5$。
则$EC = BC - BE = 8 - 2 = 6$。
又因为$AB = CD = 5$，所以$DE = CD = 5$。
在$△ DEC$中，$DE = 5$，$CD = 5$，$EC = 6$，过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$。
因为$DE = CD$，所以$EF = FC=\frac{1}{2}EC = 3$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ DFC$中，根据勾股定理$DF=\sqrt{CD^{2}-FC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
$BF = BE + EF = 2 + 3 = 5$。
在$Rt△ BFD$中，根据勾股定理$BD=\sqrt{BF^{2}+DF^{2}}=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{41}$。
【答案】
$\sqrt{41}$
4. 提升题 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AB = CD = 10$，$BC = AD = 8$，过点 $O$ 作直线 $EF$ 分别交 $AB$，$CD$ 于 $E$，$F$ 两点。若 $∠ ACB = 90^{\circ}$，则四边形 $AEFD$ 周长的最小值为。
答案
114/5
解析
因为AB=CD=10，BC=AD=8，所以四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，O为AC中点。∠ACB=90°，BC=8，AB=10，由勾股定理得AC=6，故AO=3。四边形AEFD周长=AE+EF+FD+AD，AD=8，由平行四边形性质知AE=CF，FD=10-AE，所以AE+FD=10，周长=18+EF。EF最小为AB与CD间距离，平行四边形面积=2×S△ABC=2×(6×8/2)=48，AB=10，高h=48/10=24/5，即EF最小值=24/5。周长最小值=18+24/5=114/5。
5. 提升题 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB// CD$，点 $E$，$F$ 在 $BD$ 上，且 $AE// FC$，$BE = DF$。
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形；
(2) 若 $BH⊥ CD$，$∠ DBC = 90^{\circ}$，$AD = 3$，$AB = 5$，求 $BH$ 的长。
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形；
(2) 若 $BH⊥ CD$，$∠ DBC = 90^{\circ}$，$AD = 3$，$AB = 5$，求 $BH$ 的长。
答案
(1) 证明：
∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等）。
∵AE//FC，∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）。
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases} ∠ABD=∠CDB \\ BE=DF \\ ∠AEB=∠CFD \end{cases}$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）。
∴AB=CD。
又∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3，AB=CD=5。
∵∠DBC=90°，
∴在Rt△DBC中，BD²+BC²=CD²，
∴BD²=CD²-BC²=5²-3²=16，∴BD=4。
∵S△DBC=$\frac{1}{2}$×BD×BC=$\frac{1}{2}$×CD×BH，
∴BD×BC=CD×BH，
∴BH=$\frac{BD×BC}{CD}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$。
∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等）。
∵AE//FC，∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）。
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases} ∠ABD=∠CDB \\ BE=DF \\ ∠AEB=∠CFD \end{cases}$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）。
∴AB=CD。
又∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3，AB=CD=5。
∵∠DBC=90°，
∴在Rt△DBC中，BD²+BC²=CD²，
∴BD²=CD²-BC²=5²-3²=16，∴BD=4。
∵S△DBC=$\frac{1}{2}$×BD×BC=$\frac{1}{2}$×CD×BH，
∴BD×BC=CD×BH，
∴BH=$\frac{BD×BC}{CD}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$。
