5. 《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二. 问物价几何？大意：现有一些人共同买一个物品，每人出 11 元，还盈余 8 元；每人出 9 元，则还差 12 元. 这个物品的价格是多少元？

设共有$x$人，物品价格为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}11x - y = 8, \\9x = y - 12 （或者 y - 9x = 12）.\end{cases}$
由$11x - y = 8$可得$y = 11x - 8$，将$y = 11x - 8$代入$y - 9x = 12$中，得到：
$11x - 8 - 9x = 12$，
化简可得：
$2x - 8 = 12$，
移项可得：
$2x = 12 + 8$，
$2x = 20$，
解得$x = 10$。
将$x = 10$代入$y = 11x - 8$，可得$y = 11×10 - 8 = 102$。
所以这个物品的价格是$102$元。

6. 为鼓励居民节约用电，某地实行阶梯电价收费制，具体执行方案如下表：

某户居民 5 月和 6 月共用电 $ 450 \mathrm{ kW} · \mathrm{h} $，缴电费 247.5 元. 已知该用户 6 月份用电量大于 5 月份用电量，且每个月的用电量均小于 $ 400 \mathrm{ kW} · \mathrm{h} $，则该户居民每个月各用电多少千瓦时？

5月份用电180千瓦时，6月份用电270千瓦时。

设5月份用电量为$x\ \mathrm{kW·h}$，6月份用电量为$y\ \mathrm{kW·h}$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 450 \\y ＞ x \\x ＜ 400 \\y ＜ 400\end{cases}$
且$x$、$y$的取值范围需结合阶梯电价分析：因$y ＞ x$且$x + y = 450$，则$y ＞ 225$，$x ＜ 225$。
情况1：$x ≤ 200$（第一档），$200 ＜ y ＜ 400$（第二档）
此时电费方程为：$0.52x + 0.57y = 247.5$
将$y = 450 - x$代入，得：
$0.52x + 0.57(450 - x) = 247.5$
化简：$0.52x + 256.5 - 0.57x = 247.5$
$-0.05x = -9$
解得$x = 180$，则$y = 450 - 180 = 270$。
验证：$x = 180 ≤ 200$（第一档），$y = 270$（$200 ＜ 270 ＜ 400$，第二档），符合条件。
情况2：$200 ＜ x ＜ 225$（第二档），$225 ＜ y ＜ 400$（第二档）
此时电费为$0.57x + 0.57y = 0.57(x + y) = 0.57×450 = 256.5$（元），与总电费247.5元矛盾，舍去。
综上，5月份用电180 kW·h，6月份用电270 kW·h。