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1. 填空。
(1)$a÷b=15$(a，b是不为0的自然数)，那么a和b的最大公因数是()。
(2)28和42的最大公因数是()。
(1)$a÷b=15$(a，b是不为0的自然数)，那么a和b的最大公因数是()。
(2)28和42的最大公因数是()。
答案
(1)b；(2)14（（选择题形式对应答案依次为b；14对应的选项））
解析
(1)已知$a÷ b = 15$（$a$，$b$是不为$0$的自然数），即$a$是$b$的$15$倍，当两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数，所以$a$和$b$的最大公因数是$b$。
(2)求$28$和$42$的最大公因数，可使用分解质因数的方法，$28=2×2×7$，$42 = 2×3×7$，两个数公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，$28$和$42$公有的质因数是$2$和$7$，所以它们的最大公因数是$2×7 = 14$。
(2)求$28$和$42$的最大公因数，可使用分解质因数的方法，$28=2×2×7$，$42 = 2×3×7$，两个数公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，$28$和$42$公有的质因数是$2$和$7$，所以它们的最大公因数是$2×7 = 14$。
2. 判断。
(1)1是任意两个非零自然数的公因数。 ()
(2)两个数的最大公因数一定比这两个数小。 ()
(3)两个数的公因数的个数是无限的。 ()
(4)12和16的公因数是它们的最大公因数的因数。 ()
(5)互质的两个数没有最大公因数。 ()
(1)1是任意两个非零自然数的公因数。 ()
(2)两个数的最大公因数一定比这两个数小。 ()
(3)两个数的公因数的个数是无限的。 ()
(4)12和16的公因数是它们的最大公因数的因数。 ()
(5)互质的两个数没有最大公因数。 ()
答案
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√
(5)×
(2)×
(3)×
(4)√
(5)×
解析
(1)1是任何非零自然数的因数，所以是任意两个非零自然数的公因数，该说法正确。
(2)当两个数是倍数关系时，如2和4，它们的最大公因数是2，并不比其中的4小（也可以认为等于其中一个数），所以该说法错误。
(3)两个数的公因数是有限的，因为一个数的因数个数是有限的，所以该说法错误。
(4)先求$12$和$16$的公因数，$12$的因数有$1,2,3,4,6,12$；$16$的因数有$1,2,4,8,16$，所以$12$和$16$的公因数有$1,2,4$，最大公因数是$4$，$1,2,4$是$4$的因数，所以该说法正确。
(5)互质的两个数的最大公因数是$1$，并不是没有最大公因数，所以该说法错误。
(2)当两个数是倍数关系时，如2和4，它们的最大公因数是2，并不比其中的4小（也可以认为等于其中一个数），所以该说法错误。
(3)两个数的公因数是有限的，因为一个数的因数个数是有限的，所以该说法错误。
(4)先求$12$和$16$的公因数，$12$的因数有$1,2,3,4,6,12$；$16$的因数有$1,2,4,8,16$，所以$12$和$16$的公因数有$1,2,4$，最大公因数是$4$，$1,2,4$是$4$的因数，所以该说法正确。
(5)互质的两个数的最大公因数是$1$，并不是没有最大公因数，所以该说法错误。
3. 选择。
(1)7是下面()的最大公因数。
A. 7和1 B. 28和7 C. 14和42 D. 7和8
(2)下列各组数中，两个数是互质数的是()。
A. 17和51 B. 13和91 C. 24和25 D. 3和57
(1)7是下面()的最大公因数。
A. 7和1 B. 28和7 C. 14和42 D. 7和8
(2)下列各组数中，两个数是互质数的是()。
A. 17和51 B. 13和91 C. 24和25 D. 3和57
答案
(1)B；(2)C
解析
(1)
选项A：7和1的最大公因数是1，因为1的因数只有1，7的因数是1和7。
选项B：28和7，因为28是7的倍数，所以28和7的最大公因数是7。
选项C：14和42，因为42是14的倍数，所以14和42的最大公因数是14。
选项D：7和8互质，最大公因数是1。
所以7是28和7的最大公因数，答案选B。
(2)
选项A：17和51，因为$51÷17 = 3$，17是51的因数，所以17和51不是互质数。
选项B：13和91，因为$91÷13=7$，13是91的因数，所以13和91不是互质数。
选项C：24和25，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，25的因数有1、5、25，24和25只有公因数1，所以24和25是互质数。
选项D：3和57，因为$57÷3 = 19$，3是57的因数，所以3和57不是互质数。
所以两个数是互质数的是24和25，答案选C。
选项A：7和1的最大公因数是1，因为1的因数只有1，7的因数是1和7。
选项B：28和7，因为28是7的倍数，所以28和7的最大公因数是7。
选项C：14和42，因为42是14的倍数，所以14和42的最大公因数是14。
选项D：7和8互质，最大公因数是1。
所以7是28和7的最大公因数，答案选B。
(2)
选项A：17和51，因为$51÷17 = 3$，17是51的因数，所以17和51不是互质数。
选项B：13和91，因为$91÷13=7$，13是91的因数，所以13和91不是互质数。
选项C：24和25，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，25的因数有1、5、25，24和25只有公因数1，所以24和25是互质数。
选项D：3和57，因为$57÷3 = 19$，3是57的因数，所以3和57不是互质数。
所以两个数是互质数的是24和25，答案选C。
4. 在()里写出每组数的最大公因数。
(1)5和6() 11和13() 25和31()
我发现：
(2)6和24() 33和99() 60和12()
我发现：
(1)5和6() 11和13() 25和31()
我发现：
(2)6和24() 33和99() 60和12()
我发现：
答案
(1)1；1；1；互质的两个数的最大公因数是1。(2)6；33；12；当两个数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数。
解析
(1)5的因数有1、5；6的因数有1、2、3、6；5和6的最大公因数是1。11的因数有1、11；13的因数有1、13；11和13的最大公因数是1。25的因数有1、5、25；31的因数有1、31；25和31的最大公因数是1。发现：互质的两个数的最大公因数是1。(2)6的因数有1、2、3、6；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；6和24的最大公因数是6。33的因数有1、3、11、33；99的因数有1、3、9、11、33、99；33和99的最大公因数是33。60的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；12的因数有1、2、3、4、6、12；60和12的最大公因数是12。发现：当两个数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数。
5. 有红球90个，白球96个，分别用小盒进行包装，每小盒装的球的个数要相同且刚好包装完。每小盒最多可装多少个球？至少要用多少个小盒？
答案
1. 求90和96的最大公因数：
90的因数：1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
96的因数：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96
最大公因数是6
2. 每小盒最多可装6个球
3. 红球需小盒：90÷6=15(个)
4. 白球需小盒：96÷6=16(个)
5. 至少用小盒：15+16=31(个)
结论：每小盒最多可装6个球，至少要用31个小盒。
90的因数：1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
96的因数：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96
最大公因数是6
2. 每小盒最多可装6个球
3. 红球需小盒：90÷6=15(个)
4. 白球需小盒：96÷6=16(个)
5. 至少用小盒：15+16=31(个)
结论：每小盒最多可装6个球，至少要用31个小盒。
6. 五（1）班买来31本笔记本和27支水笔作为奖品发给优秀学员，每个优秀学员分到的奖品相同，最后剩下1本笔记本和2支水笔。五（1）班有几名优秀学员？每名优秀学员分到几本笔记本和几支水笔？
答案
31-1=30（本），27-2=25（支）。
30和25的公因数有1、5。
因优秀学员人数大于1，故人数为5名。
30÷5=6（本），25÷5=5（支）。
答：五（1）班有5名优秀学员，每名优秀学员分到6本笔记本和5支水笔。
30和25的公因数有1、5。
因优秀学员人数大于1，故人数为5名。
30÷5=6（本），25÷5=5（支）。
答：五（1）班有5名优秀学员，每名优秀学员分到6本笔记本和5支水笔。
