9. 如图,在$\odot O$中,弦$AB与CD相交于点E$,$\widehat{AD}= \widehat{BC}$,连结$AD,BC$。
求证：(1) $AB= CD$。
(2) $AE= CE$。

证明:
(1)
∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$,
∴$\widehat{AD}+\widehat{AC}=\widehat{BC}+\widehat{AC}$,即$\widehat{AB}=\widehat{CD}$,
∴AB=CD.
(2)
∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$
∴AD=BC.又
∵∠ADE=∠CBE,∠DAE=∠BCE,
∴△ADE≌△CBE(ASA),
∴AE=CE.

10. 如图,$AB是\odot O$的直径,点$C,D在\odot O$上,连结$AC,AD,CD$,若$\angle ADC= 38°$,则$\angle BAC$的度数为( )


A.$38°$
B.$60°$
C.$76°$
D.$52°$

D　[解析]连结BC.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠B=90°.
∵∠ADC=∠ABC=38°,

∴∠BAC=52°.

11. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90°$,$\angle A= 32°$,点$B,C在\odot O$上,边$AB,AC分别交\odot O于D,E$两点,$B是\widehat{CD}$的中点,则$\angle ABE= $ ______。

13°

12. 如图,$AB为\odot O$的直径,$BC= 4$,$AC= 3$,$CD平分\angle ACB$,则$AD= $ ______.

$\frac{5\sqrt{2}}{2}$　[解析]连结BD(图略).
∵AB是⊙O的直径,AC=3,BC=4,
∴∠ACB =90°,
∴AB= $\sqrt{3^2 + 4^2}=5$.
∵CD平分∠ACB,
∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}$,
∴AD=BD.设AD=DB=x,
∴$x^2 + x^2 = 5^2$,
∴x=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$,即AD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

13. 如图,在$\odot O$中,$\widehat{AD}= \widehat{DC}= \widehat{CB}$,连结$AC,BD$,过点$B作BE// AC交DC的延长线于点E$。
(1)求证：$\angle D= \angle E$。
(2)若$CD= 2\sqrt{5}$,$BE= 8$,求$\odot O$的半径。

解:
(1)证明:
∵BE//AC,
∴∠E=∠ACD.
∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$,
∴∠ACD=∠D,
∴∠D=∠E.
(2)如图，连结OC,交BD于点H,连结OD,

由
(1)知,∠E=∠BDC,
∴BD=BE=8.
∵$\widehat{BC}=\widehat{CD}$,
∴OC⊥BD,DH=$\frac{1}{2}$BD=4.在Rt△CHD中,CD=2$\sqrt{5}$
∴CH= $\sqrt{CD^2 - DH^2}=2$.设OD=OC=r,在Rt△OHD中,由勾股定理得,OH²+DH²=OD²,
∴(r - 2)² + 4² = r²,解得r=5,即⊙O的半径为5.