例3 (2024·威海)如图，在菱形ABCD中，AB=10 cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF=60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF.点E从点C出发，沿CA方向以每秒2 cm的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为y cm²，点E的运动时间为x s.
(1)求证：BE=EF；
(2)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当x为何值时，线段DF的长最短?

分析 (1)设CD与EF相交于点M，证明△BCE≌△DCE，可得∠CBE=∠CDE，BE=DE，利用三角形外角性质可得∠CDE=∠CFE，即得∠CBE=∠CFE，即可求证；
(2)过点E作EN⊥BC于点N，解直角三角形得到EN=CE·sin60°，CN=CE·cos60°，可得BN=BC - CN，由等腰三角形三线合一可求得BF的长，即可由三角形面积公式得到y与x的函数解析式，最后由0＜2x≤10，求解自变量x的取值范围即可；
(3)证明△DEF为等边三角形，可得BE=DF，可知线段DF的长最短，即BE的长最短，当BE⊥AC时，BE取最短，由菱形的性质可得△ABC为等边三角形，利用三线合一求出CE的长即可.

(1)见证明；(2)y=-√3x²+10√3x(0≤x≤5)；(3)x=2.5.

(1)证明：∵菱形ABCD，∴BC=DC，∠BCE=∠DCE.
∵CE=CE，∴△BCE≌△DCE(SAS).
∴BE=DE，∠CBE=∠CDE.
设EF交CD于M，在△DME和△CMF中，∠DME=∠CMF，
∴∠CDE+∠DEM=∠CFE+∠DCM.
∵∠DEM=60°，∠DCM=120°，
∴∠CDE+60°=∠CFE+120°，即∠CDE=∠CFE.
∴∠CBE=∠CFE，即∠EBF=∠EFB.
∴BE=EF.
(2)过E作EN⊥BC于N，CE=2x.
EN=CE·sin60°=2x·(√3/2)=x√3，
CN=CE·cos60°=2x·(1/2)=x，
BN=BC-CN=10-x.
∵BE=EF，EN⊥BF，∴BN=NF，BF=2BN=2(10-x)=20-2x.
y=(1/2)·BF·EN=(1/2)(20-2x)(x√3)=-√3x²+10√3x.
自变量x的取值范围：0≤x≤5.
(3)由(1)BE=DE=EF，∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，DF=DE=BE.
当BE⊥AC时，BE最短.
∵△ABC为等边三角形，AC=10cm，
∴当E为AC中点时，BE⊥AC，CE=5cm.
∵CE=2x，∴2x=5，x=2.5.
即x=2.5时，DF最短.