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8. 如图，$∠ CGD=∠ CAB$，$∠ 1=∠ 2$，$EF⊥ BC$，垂足为$F$.求证：$AD⊥ BC$.
答案
8. $\because EF⊥ BC$，$\therefore ∠ BFE=90^{\circ }$.$\because ∠ CGD=∠ CAB$，$\therefore AB// DG$，$\therefore ∠ 1=∠ DAB$，又$\because ∠ 1=∠ 2$，$\therefore ∠ DAB=∠ 2$，$\therefore AD// EF$，$\therefore ∠ BDA=∠ BFE=90^{\circ }$.$\therefore AD⊥ BC$
9. 证明下列两个结论.
(1) 若一个四位数各数位上的数字之和可以被$3$整除，则这个数可以被$3$整除；
(2) 两个正数之积的最大值是这两个正数平方之和的一半.
(1) 若一个四位数各数位上的数字之和可以被$3$整除，则这个数可以被$3$整除；
(2) 两个正数之积的最大值是这两个正数平方之和的一半.
答案
9. (1) 设这个四位数是$\overline{abcd}$.$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)$，若$a+b+c+d$可以被3整除，显然这个数可以被3整除
(2) 设这两个正数是$a$，$b$，$a＞0$，$b＞0$.$\because (a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab≥ 0$，$\therefore -2ab≥ -a^{2}-b^{2}$.$\therefore ab≤ \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}$. 即$ab$的最大值是$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}$. 得证
(2) 设这两个正数是$a$，$b$，$a＞0$，$b＞0$.$\because (a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab≥ 0$，$\therefore -2ab≥ -a^{2}-b^{2}$.$\therefore ab≤ \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}$. 即$ab$的最大值是$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}$. 得证
10. 两直线平行，其内错角的平分线是否平行？同位角的平分线呢？同旁内角的平分线呢？
作出判断，并由此构造出一个真命题，写出该命题的完整形式及证明过程.
作出判断，并由此构造出一个真命题，写出该命题的完整形式及证明过程.
答案
10. 都平行. 例如，求证两直线平行，内错角的平分线平行. 已知：如图，$AB// CD$，$EF$与$AB$交于点$E$，与$CD$交于点$F$，$EM$平分$∠ AEF$，$FN$平分$∠ EFD$. 求证：$EM// FN$. 证明：$\because AB// CD$(已知)，$\therefore ∠ AEF=∠ EFD$(两直线平行，内错角相等).$\because EM$平分$∠ AEF$，$FN$平分$∠ EFD$(已知)，$\therefore ∠ MEF=\dfrac{1}{2}∠ AEF$，$∠ EFN=\dfrac{1}{2}∠ EFD$(角平分线的定义).$\therefore ∠ MEF=∠ EFN$(等量代换).$\therefore EM// FN$(内错角相等，两直线平行)
