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7. 在四边形$ABCD$中，$DC// AB$，$DC=3.6$，$AB=6$，$DC$、$AB$间的距离为$0.3$，则$AD$、$BC$的延长线的交点$P$到$AB$的距离是().
A.$\frac {9}{50}$
B.$\frac {12}{25}$
C.$\frac {9}{20}$
D.$\frac {3}{4}$
A.$\frac {9}{50}$
B.$\frac {12}{25}$
C.$\frac {9}{20}$
D.$\frac {3}{4}$
答案
D
解析
【解析】
因为$DC// AB$，所以$△ PDC ∼ △ PAB$。
设点$P$到$AB$的距离为$h$，则点$P$到$DC$的距离为$h - 0.3$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{DC}{AB} = \frac{h - 0.3}{h}$
代入$DC=3.6$，$AB=6$，得：
$\frac{3.6}{6} = \frac{h - 0.3}{h}$
交叉相乘得：$3.6h = 6(h - 0.3)$
展开并整理：$2.4h = 1.8$
解得：$h = \frac{3}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质
【点评】
本题借助平行线判定相似三角形，利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，关键是准确找到相似三角形的对应量关系。
因为$DC// AB$，所以$△ PDC ∼ △ PAB$。
设点$P$到$AB$的距离为$h$，则点$P$到$DC$的距离为$h - 0.3$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{DC}{AB} = \frac{h - 0.3}{h}$
代入$DC=3.6$，$AB=6$，得：
$\frac{3.6}{6} = \frac{h - 0.3}{h}$
交叉相乘得：$3.6h = 6(h - 0.3)$
展开并整理：$2.4h = 1.8$
解得：$h = \frac{3}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质
【点评】
本题借助平行线判定相似三角形，利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，关键是准确找到相似三角形的对应量关系。
8. 如图，在$□ ABCD$中，$P$是对角线$AC$上的一点，过点$P$分别作$AD$、$AB$的平行线，与$AB$、$DC$、$AD$、$BC$分别相交于点$E$、$F$、$G$、$H$.图中与$△ AEP$相似的三角形有().
A.$4$个
B.$5$个
C.$6$个
D.$7$个
A.$4$个
B.$5$个
C.$6$个
D.$7$个
答案
B
解析
【解析】
在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$AB// CD$，过点$P$作的直线分别平行于$AD$、$AB$。根据平行线的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”，可找出与$△ AEP$相似的三角形有$△ AGP$、$△ CFP$、$△ CHP$、$△ ABC$、$△ ADC$，共5个。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、相似三角形判定
【点评】
本题需结合平行四边形的性质，利用相似三角形的判定定理（两角分别相等）来找出所有相似三角形，寻找时要注意不重不漏。
在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$AB// CD$，过点$P$作的直线分别平行于$AD$、$AB$。根据平行线的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”，可找出与$△ AEP$相似的三角形有$△ AGP$、$△ CFP$、$△ CHP$、$△ ABC$、$△ ADC$，共5个。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、相似三角形判定
【点评】
本题需结合平行四边形的性质，利用相似三角形的判定定理（两角分别相等）来找出所有相似三角形，寻找时要注意不重不漏。
9. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$在$BC$上，$AE$与$BD$相交于点$F$.若$BE:EC=4:5$，则$BF:FD$等于().
A.$4:5$
B.$4:10$
C.$5:9$
D.$4:9$
A.$4:5$
B.$4:10$
C.$5:9$
D.$4:9$
答案
D
解析
【解析】
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC$。
已知$BE:EC=4:5$，则$BE:BC=4:(4+5)=4:9$，故$BE:AD=4:9$。
因为$AD// BC$，所以$△ BEF ∽ △ DAF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得$BF:FD=BE:AD=4:9$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形与相似三角形的综合应用，关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合相似三角形的判定与性质转化线段比例，进而求解。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC$。
已知$BE:EC=4:5$，则$BE:BC=4:(4+5)=4:9$，故$BE:AD=4:9$。
因为$AD// BC$，所以$△ BEF ∽ △ DAF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得$BF:FD=BE:AD=4:9$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形与相似三角形的综合应用，关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合相似三角形的判定与性质转化线段比例，进而求解。
10. 如图，$AD$是$△ ABC$的中线，点$E$、$F$在$AC$上，$AE=EF=FC$，$BE$与$AD$相交于点$G$.给出下列关系式：①$\frac {AG}{AD}=\frac {1}{2}$；②$\frac {GE}{BE}=\frac {1}{3}$；③$\frac {BG}{BE}=\frac {3}{4}$.其中，正确的是().
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
B
解析
【解析】
连接DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC。
∵AE=EF=FC，
∴F是EC的中点，
∴DF是△BCE的中位线，故$DF// BE$，且$DF=\frac{1}{2}BE$。
1. 分析①：
在△ADF中，
∵AE=EF，$GE// DF$，
∴G为AD中点，
因此$\frac{AG}{AD}=\frac{1}{2}$，①正确。
2. 分析②：
由EG是△ADF的中位线，得$EG=\frac{1}{2}DF$，
结合$DF=\frac{1}{2}BE$，可得$EG=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BE=\frac{1}{4}BE$，
即$\frac{GE}{BE}=\frac{1}{4}$，②错误。
3. 分析③：
∵$BG=BE-GE=BE-\frac{1}{4}BE=\frac{3}{4}BE$，
∴$\frac{BG}{BE}=\frac{3}{4}$，③正确。
综上，正确的是①③，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，三角形中线的定义，平行线分线段成比例
【点评】
本题考查三角形相关线段性质的综合应用，通过构造中位线建立线段间的平行与数量关系，解题关键是合理添加辅助线，利用中位线定理推导线段比例。
连接DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC。
∵AE=EF=FC，
∴F是EC的中点，
∴DF是△BCE的中位线，故$DF// BE$，且$DF=\frac{1}{2}BE$。
1. 分析①：
在△ADF中，
∵AE=EF，$GE// DF$，
∴G为AD中点，
因此$\frac{AG}{AD}=\frac{1}{2}$，①正确。
2. 分析②：
由EG是△ADF的中位线，得$EG=\frac{1}{2}DF$，
结合$DF=\frac{1}{2}BE$，可得$EG=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BE=\frac{1}{4}BE$，
即$\frac{GE}{BE}=\frac{1}{4}$，②错误。
3. 分析③：
∵$BG=BE-GE=BE-\frac{1}{4}BE=\frac{3}{4}BE$，
∴$\frac{BG}{BE}=\frac{3}{4}$，③正确。
综上，正确的是①③，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，三角形中线的定义，平行线分线段成比例
【点评】
本题考查三角形相关线段性质的综合应用，通过构造中位线建立线段间的平行与数量关系，解题关键是合理添加辅助线，利用中位线定理推导线段比例。
