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7. (★★)(2024·南通)某快递企业为提高工作效率，拟购买$A$，$B$两种型号智能机器人进行快递分拣。相关信息如下：
信息二
(1)求$A$，$B$两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过$700$万元购买$A$，$B$两种型号智能机器人共$10$台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
信息二
(1)求$A$，$B$两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过$700$万元购买$A$，$B$两种型号智能机器人共$10$台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
答案
(1)设$A$型智能机器人单价为$x$万元，$B$型智能机器人单价为$y$万元，
$\begin{cases}x + 3y = 260, \\3x + 2y = 360.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 80, \\y = 60.\end{cases}$
答：$A$型智能机器人单价为80万元，$B$型智能机器人单价为60万元。
(2)设购买$A$型智能机器人$m$台，则购买$B$型智能机器人$(10 - m)$台，
根据题意得：$80m + 60(10 - m) ≤ 700$，
解得：$m ≤ 5$，
设10台机器人每天分拣快递的件数为$z$，
则$z = 2200m + 2000(10 - m)= 200m + 20000$，
因为$200 ＞ 0$，
所以$z$随$m$的增大而增大，
所以当$m = 5$时，$z$最大，
此时$10 - m = 5$，
答：购买$A$，$B$两种型号智能机器人各5台，能使每天分拣快递的件数最多。
$\begin{cases}x + 3y = 260, \\3x + 2y = 360.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 80, \\y = 60.\end{cases}$
答：$A$型智能机器人单价为80万元，$B$型智能机器人单价为60万元。
(2)设购买$A$型智能机器人$m$台，则购买$B$型智能机器人$(10 - m)$台，
根据题意得：$80m + 60(10 - m) ≤ 700$，
解得：$m ≤ 5$，
设10台机器人每天分拣快递的件数为$z$，
则$z = 2200m + 2000(10 - m)= 200m + 20000$，
因为$200 ＞ 0$，
所以$z$随$m$的增大而增大，
所以当$m = 5$时，$z$最大，
此时$10 - m = 5$，
答：购买$A$，$B$两种型号智能机器人各5台，能使每天分拣快递的件数最多。
8. (★★)甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同。甲商场规定：凡购买超过$1000$元电器的，超出的金额按$90\%$实收；乙商场规定：凡购买超过$500$元电器的，超出的金额按$95\%$实收。顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠？
答案
设顾客购买电器的总金额为$x$元（$x ＞ 0$）。
甲商场的实际收费：
当$x ≤ 1000$时，甲商场无优惠，实际收费为$x$元；
当$x ＞ 1000$时，甲商场超出的金额按$90\%$实收，即实际收费为$1000 + 0.9(x - 1000) = 0.9x + 100$元。
乙商场的实际收费：
当$x ≤ 500$时，乙商场无优惠，实际收费为$x$元；
当$x ＞ 500$时，乙商场超出的金额按$95\%$实收，即实际收费为$500 + 0.95(x - 500) = 0.95x + 25$元。
比较两家商场的实际收费：
当$0 ＜ x ≤ 500$时，两家商场均无优惠，选择哪家均可；
当$500 ＜ x ≤ 1000$时，乙商场有优惠而甲商场无优惠，所以选择乙商场；
当$x ＞ 1000$时：
甲商场实际收费为$0.9x + 100$元，乙商场实际收费为$0.95x + 25$元。
若$0.9x + 100 ＜ 0.95x + 25$，解得$x ＞ 1500$，此时选择甲商场；
若$0.9x + 100 = 0.95x + 25$，解得$x = 1500$，此时两家商场收费相同；
若$0.9x + 100 ＞ 0.95x + 25$，解得$x ＜ 1500$，结合$x ＞ 1000$，所以当$1000 ＜ x ＜ 1500$时，选择乙商场。
综上所述：
当$0 ＜ x ≤ 500$或$x = 1500$时，选择甲、乙两家商场一样；
当$500 ＜ x ＜ 1500$时，选择乙商场；
当$x ＞ 1500$时，选择甲商场。
甲商场的实际收费：
当$x ≤ 1000$时，甲商场无优惠，实际收费为$x$元；
当$x ＞ 1000$时，甲商场超出的金额按$90\%$实收，即实际收费为$1000 + 0.9(x - 1000) = 0.9x + 100$元。
乙商场的实际收费：
当$x ≤ 500$时，乙商场无优惠，实际收费为$x$元；
当$x ＞ 500$时，乙商场超出的金额按$95\%$实收，即实际收费为$500 + 0.95(x - 500) = 0.95x + 25$元。
比较两家商场的实际收费：
当$0 ＜ x ≤ 500$时，两家商场均无优惠，选择哪家均可；
当$500 ＜ x ≤ 1000$时，乙商场有优惠而甲商场无优惠，所以选择乙商场；
当$x ＞ 1000$时：
甲商场实际收费为$0.9x + 100$元，乙商场实际收费为$0.95x + 25$元。
若$0.9x + 100 ＜ 0.95x + 25$，解得$x ＞ 1500$，此时选择甲商场；
若$0.9x + 100 = 0.95x + 25$，解得$x = 1500$，此时两家商场收费相同；
若$0.9x + 100 ＞ 0.95x + 25$，解得$x ＜ 1500$，结合$x ＞ 1000$，所以当$1000 ＜ x ＜ 1500$时，选择乙商场。
综上所述：
当$0 ＜ x ≤ 500$或$x = 1500$时，选择甲、乙两家商场一样；
当$500 ＜ x ＜ 1500$时，选择乙商场；
当$x ＞ 1500$时，选择甲商场。
9. (★★)某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种。
活动一：所购商品按原价打八折。
活动二：所购商品按原价每满$300$元减$80$元。(如：所购商品原价为$300$元时，可减$80$元，需付款$220$元；所购商品原价为$770$元时，可减$160$元，需付款$610$元)
(1)购买一件原价为$450$元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由。
(2)购买一件原价在$500$元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价。
(3)购买一件原价在$900$元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？(设一件这种健身器材的原价为$a$元)
活动一：所购商品按原价打八折。
活动二：所购商品按原价每满$300$元减$80$元。(如：所购商品原价为$300$元时，可减$80$元，需付款$220$元；所购商品原价为$770$元时，可减$160$元，需付款$610$元)
(1)购买一件原价为$450$元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由。
(2)购买一件原价在$500$元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价。
(3)购买一件原价在$900$元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？(设一件这种健身器材的原价为$a$元)
答案
(1)活动一：450×0.8=360(元)；活动二：450-80=370(元)。因为360＜370，所以选择活动一更合算。
(2)设原价为x元，x＜500。当x＜300时，活动二付款x元，活动一付款0.8x元，0.8x=x无解；当300≤x＜500时，活动二付款(x-80)元，由0.8x=x-80，解得x=400。故原价为400元。
(3)当a＜300时，活动二付款a元，活动一付款0.8a元，a＜0.8a不成立；当300≤a＜600时，活动二付款(a-80)元，由a-80＜0.8a，得a＜400，故300≤a＜400；当600≤a＜900时，活动二付款(a-160)元，由a-160＜0.8a，得a＜800，故600≤a＜800。综上，300≤a＜400或600≤a＜800。
(2)设原价为x元，x＜500。当x＜300时，活动二付款x元，活动一付款0.8x元，0.8x=x无解；当300≤x＜500时，活动二付款(x-80)元，由0.8x=x-80，解得x=400。故原价为400元。
(3)当a＜300时，活动二付款a元，活动一付款0.8a元，a＜0.8a不成立；当300≤a＜600时，活动二付款(a-80)元，由a-80＜0.8a，得a＜400，故300≤a＜400；当600≤a＜900时，活动二付款(a-160)元，由a-160＜0.8a，得a＜800，故600≤a＜800。综上，300≤a＜400或600≤a＜800。
