3. 如图，AB//CD，E，F 分别为 AB，CD 上的点，且 EC//BF，连接 AD，分别与 EC，BF 相交于点 G，H，若 AB = CD，说明：AG = DH.

3. 解: 因为 $ AB // CD $，$ EC // BF $，
所以 $ ∠ A = ∠ D $，$ ∠ AHB = ∠ DGC $，
在 $ △ ABH $ 和 $ △ DCG $ 中，
因为 $ \{ \begin{array} { l } { ∠ A H B = ∠ D G C } \\ { ∠ A = ∠ D } \\ { A B = C D } \end{array} $
所以 $ △ ABH ≌ △ DCG ( AAS ) $，所以 $ AH $
$ = D G $，
所以 $ A H - G H = D G - G H $，即 $ A G = D H $。

【分析】
要证明$AG=DH$，可先证明$AH=DG$，再通过线段的和差关系推导。首先利用平行线的性质得到对应角相等，结合已知$AB=CD$，证明$△ ABH$和$△ DCG$全等，从而得到$AH=DG$，最后两边同时减去公共线段$GH$，即可得出$AG=DH$。
【解析】
因为 $ AB // CD $，$ EC // BF $，
所以 $ ∠ A = ∠ D $，$ ∠ AHB = ∠ DGC $，
在 $ △ ABH $ 和 $ △ DCG $ 中，
$\begin{cases}∠ AHB = ∠ DGC \\∠ A = ∠ D \\AB = CD\end{cases}$
所以 $ △ ABH ≌ △ DCG (AAS) $，
所以 $ AH = DG $，
所以 $ AH - GH = DG - GH $，即 $ AG = DH $。
【答案】
$AG=DH$，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过平行线找到全等三角形所需的角相等条件，利用全等得到线段相等，再结合线段的和差关系完成证明，属于基础几何证明题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AC 和 AB 的中点. 说明：BD = CE.

4. 解: 因为 $ A B = A C $，$ D $、$ E $ 分别为 $ A C $、$ A B $
的中点，
所以 $ A D = A E $，在 $ △ A B D $ 和 $ △ A C E $
中，$ \{ \begin{array} { l } { A B = A C } \\ { ∠ A = ∠ A } \\ { A D = A E } \end{array} $
所以 $ △ A B D ≌ △ A C E ( S A S ) $，所以 $ B D $
$ = C E $。

【分析】
要证明$BD=CE$，可通过证明线段所在的三角形全等实现。已知$AB=AC$，D、E分别是AC、AB的中点，由此可推出$AD=AE$；又因为$∠A$是$△ ABD$和$△ ACE$的公共角，结合$AB=AC$、$AD=AE$，可利用SAS判定定理证明$△ ABD≌△ ACE$，根据全等三角形对应边相等即可得出$BD=CE$。
【解析】
已知在$△ ABC$中，$AB = AC$，点D，E分别是AC和AB的中点。
因为D是AC中点，E是AB中点，且$AB=AC$，所以$AD=\frac{1}{2}AC$，$AE=\frac{1}{2}AB$，进而得到$AD=AE$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB = AC \\∠A = ∠A \\AD = AE\end{cases}$
所以$△ ABD ≌ △ ACE$（SAS）。
根据全等三角形的对应边相等，可得$BD = CE$。
【答案】
$BD=CE$
【知识点】
1. 全等三角形的判定（SAS）
2. 全等三角形的性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查全等三角形的判定与性质，利用中点的性质结合等腰三角形的边长关系得到全等所需的线段条件，再借助公共角完成全等证明，要求熟练掌握全等三角形的判定定理及性质，理清线段与三角形的对应关系。
【难度系数】
0.8

1. 如图，点 P 是△ABC 内一点，E，F 分别是边 AC，BC 上的两点，连接 PE，PF，且 PE = PF，点 D 为 AC 延长线上一点，连接 PD，且 DE = BF，∠AEP + ∠BFP = 180°.
（1）说明：△DEP ≌ △BFP；
（2）已知 AB = AE + BF，若∠D = 25°，求∠ABC 的度数.

1. 解: (1) 因为 $ ∠ A E P + ∠ B F P = 180 ^ { \circ } $，
$ ∠ A E P + ∠ D E P = 180 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ D E P = ∠ B F P $。
在 $ △ D E P $ 和 $ △ B F P $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { D E = B F } \\ { ∠ D E P = ∠ B F P } \\ { P E = P F } \end{array} $
所以 $ △ D E P ≌ △ B F P ( S A S ) $。
(2) 因为 $ △ D E P ≌ △ B F P $，
所以 $ D E = B F $，$ P D = P B $，$ ∠ D = ∠ F B P $。
因为 $ A B = A E + B F = A E + D E = A D $，
在 $ △ A P D $ 和 $ △ A P B $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { P D = P B } \\ { A D = A B } \\ { A P = A P } \end{array} $
所以 $ △ A P D ≌ △ A P B ( S S S ) $，
所以 $ ∠ D = ∠ A B P = ∠ F B P = 25 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ A B C = 50 ^ { \circ } $。

【分析】
（1）要证明$△ DEP≌△ BFP$，已知$PE=PF$，$DE=BF$，根据全等三角形的判定定理，还需一组对应角相等。由已知$∠ AEP+∠ BFP=180°$，结合$∠ AEP$与$∠ DEP$是邻补角（和为$180°$），可推出$∠ DEP=∠ BFP$，进而利用SAS判定定理证明全等。
（2）先利用（1）的全等结论得到$PD=PB$、$∠ D=∠ FBP$，再根据$AB=AE+BF$，结合$DE=BF$进行等量代换得到$AB=AD$，然后利用SSS证明$△ APD≌△ APB$，得到$∠ D=∠ ABP$，最后通过$∠ ABC=∠ ABP+∠ FBP$计算出度数。
【解析】
(1) 因为 $ ∠ A E P + ∠ B F P = 180 ^ { \circ } $，
$ ∠ A E P + ∠ D E P = 180 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ D E P = ∠ B F P $。
在 $ △ D E P $ 和 $ △ B F P $ 中，
$\begin{cases}DE = BF \\∠DEP = ∠BFP \\PE = PF\end{cases}$
所以 $ △ D E P ≌ △ B F P ( \mathrm{SAS} ) $。
(2) 因为 $ △ D E P ≌ △ B F P $，
所以 $ PD = PB $，$ ∠ D = ∠ F B P = 25 ^ { \circ } $。
因为 $ AB = AE + BF $，且 $ DE = BF $，
所以 $ AB = AE + DE = AD $。
在 $ △ A P D $ 和 $ △ A P B $ 中，
$\begin{cases}PD = PB \\AD = AB \\AP = AP\end{cases}$
所以 $ △ A P D ≌ △ A P B ( \mathrm{SSS} ) $，
所以 $ ∠ D = ∠ A B P = 25 ^ { \circ } $，
因此 $ ∠ ABC = ∠ ABP + ∠ FBP = 25 ^ { \circ } + 25 ^ { \circ } = 50 ^ { \circ } $。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{∠ABC=50°}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 邻补角的性质
【点评】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是通过邻补角的关系找到全等所需的角相等条件，再利用全等性质进行等量代换，推导角的关系，需要熟练掌握SAS、SSS等全等判定定理，以及灵活运用等量代换思想。
【难度系数】
0.6

2. 如图①，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC，AE 是过点 A 的一条直线，且点 B，C 在 AE 的异侧，BD ⊥ AE 于点 D，CE ⊥ AE 于点 E.
（1）BD = DE + CE 成立吗？为什么？
（2）若直线 AE 绕点 A 旋转到如图②位置时，其他条件不变，BD 与 DE，CE 的数量关系如何？请说明理由.

2. 解: (1) 成立，理由: 因为 $ B D ⊥ A E $，$ C E ⊥ $
$ A E $，所以 $ ∠ B D A = ∠ A E C = 90 ^ { \circ } $。
因为 $ ∠ A B D + ∠ B A E = 90 ^ { \circ } $，
$ ∠ C A E + ∠ B A E = 90 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ A B D = ∠ C A E $。
因为在 $ △ A B D $ 和 $ △ C A E $ 中，
$ \{ \begin{array} { l } { ∠ B D A = ∠ A E C } \\ { ∠ A B D = ∠ C A E } \\ { A B = A C } \end{array} $
所以 $ △ A B D ≌ △ C A E ( A A S ) $，
所以 $ B D = A E $，$ A D = C E $。
因为 $ A E = A D + D E $，
所以 $ B D = D E + C E $。
(2) $ B D = D E - C E $，理由:
因为 $ B D ⊥ A E $，$ C E ⊥ A E $，
所以 $ ∠ B D A = ∠ A E C = 90 ^ { \circ } = ∠ B A C $，
所以 $ ∠ A B D + ∠ D A B = ∠ D A B + ∠ C A E $，
所以 $ ∠ A B D = ∠ C A E $。
在 $ △ A B D $ 和 $ △ C A E $ 中，
因为 $ \{ \begin{array} { l } { ∠ B D A = ∠ A E C } \\ { ∠ A B D = ∠ C A E } \\ { A B = A C } \end{array} $
所以 $ △ A B D ≌ △ C A E ( A A S ) $，
所以 $ B D = A E $，$ A D = C E $，
所以 $ A D + A E = B D + C E $，
即 $ D E = B D + C E $，所以 $ B D = D E - C E $。

【分析】
（1）要判断$BD = DE + CE$是否成立，可通过证明三角形全等实现线段转化。先由垂直条件得到直角，再利用“同角的余角相等”推出一组角相等，结合已知$AB=AC$，用AAS证明$△ ABD≌△ CAE$，得到对应线段相等，最后根据线段和的关系替换推导结论。
（2）直线AE旋转后，解题思路与（1）一致：先证$△ ABD≌△ CAE$得到对应线段相等，再观察此时线段的和差关系，代入对应线段推导$BD$与$DE$、$CE$的数量关系。
【解析】
(1) 成立，理由如下：
因为 $BD ⊥ AE$，$CE ⊥ AE$，所以 $∠ BDA = ∠ AEC = 90°$。
因为 $∠ ABD + ∠ BAE = 90°$，$∠ CAE + ∠ BAE = 90°$，所以 $∠ ABD = ∠ CAE$。
在 $△ ABD$ 和 $△ CAE$ 中，
$\begin{cases}∠ BDA = ∠ AEC \\∠ ABD = ∠ CAE \\AB = AC\end{cases}$
所以 $△ ABD ≌ △ CAE (\mathrm{AAS})$，
所以 $BD = AE$，$AD = CE$。
因为 $AE = AD + DE$，所以 $BD = DE + CE$。
(2) $BD = DE - CE$，理由如下：
因为 $BD ⊥ AE$，$CE ⊥ AE$，所以 $∠ BDA = ∠ AEC = 90° = ∠ BAC$，
所以 $∠ ABD + ∠ DAB = ∠ DAB + ∠ CAE$，所以 $∠ ABD = ∠ CAE$。
在 $△ ABD$ 和 $△ CAE$ 中，
$\begin{cases}∠ BDA = ∠ AEC \\∠ ABD = ∠ CAE \\AB = AC\end{cases}$
所以 $△ ABD ≌ △ CAE (\mathrm{AAS})$，
所以 $BD = AE$，$AD = CE$，
因为 $DE = AD + AE$，所以 $DE = CE + BD$，即 $BD = DE - CE$。
【答案】
(1) 成立，理由见解析；
(2) $BD = DE - CE$，理由见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定（AAS）
2. 直角三角形性质
3. 线段和差转化
【点评】
本题是旋转型全等三角形的典型应用，核心是通过“同角的余角相等”寻找全等条件，利用全等三角形的对应边相等实现线段的等量转化，考查了逻辑推理能力和对全等判定定理的灵活运用，有助于提升线段关系推导的思维能力。
【难度系数】
0.6