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6. 如图，$△ ABC$ 与$△ DEF$ 的边 $BC$，$EF$ 在同一条直线上，$AB// DE$，$AC// DF$，且 $BE = CF$，求证四边形 $ABED$ 是平行四边形.
答案
证明：
∵ $ AB// DE $，
∴ $ ∠ B = ∠ DEF $，
∵ $ AC// DF $，
∴ $ ∠ ACB = ∠ F $，
∵ $ BE = CF $，
∴ $ BE + EC = CF + EC $，即 $ BC = EF $，
在$ △ ABC $和$ △ DEF $中，
$\{\begin{array}{l}∠ B = ∠ DEF \\BC = EF \\∠ ACB = ∠ F\end{array} $
∴ $ △ ABC ≌ △ DEF $（ASA），
∴ $ AB = DE $，
又∵ $ AB// DE $，
∴ 四边形$ ABED $是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵ $ AB// DE $，
∴ $ ∠ B = ∠ DEF $，
∵ $ AC// DF $，
∴ $ ∠ ACB = ∠ F $，
∵ $ BE = CF $，
∴ $ BE + EC = CF + EC $，即 $ BC = EF $，
在$ △ ABC $和$ △ DEF $中，
$\{\begin{array}{l}∠ B = ∠ DEF \\BC = EF \\∠ ACB = ∠ F\end{array} $
∴ $ △ ABC ≌ △ DEF $（ASA），
∴ $ AB = DE $，
又∵ $ AB// DE $，
∴ 四边形$ ABED $是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
7. 如图，在$□ ADCB$ 中，$E$，$F$ 分别为边 $AB$，$DC$ 的中点，则图中平行四边形的个数是().
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
答案
C
解析
已知四边形$ABCD$是平行四边形，故$AB// DC$，$AB=DC$。
因为$E$，$F$分别为$AB$，$DC$的中点，所以$AE=EB=DF=FC$。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”：
1. 原四边形$ABCD$是平行四边形；
2. $AE// DF$且$AE=DF$，得$□ AEFD$；
3. $EB// FC$且$EB=FC$，得$□ EBCF$；
4. $DF// EB$且$DF=EB$，得$□ DEBF$；
5. $AE// FC$且$AE=FC$，得$□ AECF$。
综上，图中平行四边形的个数是5个。
因为$E$，$F$分别为$AB$，$DC$的中点，所以$AE=EB=DF=FC$。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”：
1. 原四边形$ABCD$是平行四边形；
2. $AE// DF$且$AE=DF$，得$□ AEFD$；
3. $EB// FC$且$EB=FC$，得$□ EBCF$；
4. $DF// EB$且$DF=EB$，得$□ DEBF$；
5. $AE// FC$且$AE=FC$，得$□ AECF$。
综上，图中平行四边形的个数是5个。
8. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$E$ 为 $BD$ 上一点，且 $BE = BC$，$AB = EF$，$∠ ABD = ∠ BFE$，求证四边形 $ABCD$ 为平行四边形.
答案
证明：
∵ $AD// BC$
∴ $∠ ADB = ∠ EBF$
在$△ ABD$和$△ EFB$中
$\{\begin{array}{l}∠ ADB = ∠ EBF \\∠ ABD = ∠ BFE \\AB = EF\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ EFB$（AAS）
∴ $AD = BE$
∵ $BE = BC$
∴ $AD = BC$
又∵ $AD// BC$
∴ 四边形$ABCD$为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵ $AD// BC$
∴ $∠ ADB = ∠ EBF$
在$△ ABD$和$△ EFB$中
$\{\begin{array}{l}∠ ADB = ∠ EBF \\∠ ABD = ∠ BFE \\AB = EF\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ EFB$（AAS）
∴ $AD = BE$
∵ $BE = BC$
∴ $AD = BC$
又∵ $AD// BC$
∴ 四边形$ABCD$为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
9. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AE⊥ BC$，垂足为 $E$，$CF⊥ AB$，垂足为 $F$，$AE$ 与 $CF$ 相交于点 $G$，连接 $GD$，已知$∠ 1 = ∠ 2$，$∠ 3 = ∠ 4$.
（1）求证四边形 $ABCD$ 为平行四边形.
（2）若 $AG = 3$，$DG = 5$，求四边形 $ABCD$ 的面积.
（1）求证四边形 $ABCD$ 为平行四边形.
（2）若 $AG = 3$，$DG = 5$，求四边形 $ABCD$ 的面积.
答案
（1）证明：
∵ $AD//BC$，$AE⊥BC$，
∴ $AE⊥AD$，即$∠ DAG=90°$，
∵ $∠ 1=∠ 2$，$GE⊥BC$，
∴ $GD⊥DC$，即$∠ DCG=90°$，
∴ $∠ DAG=∠ DCG=90°$，
在$△ AGD$和$△ CGD$中，
$\{\begin{array}{l}∠ 3=∠ 4 \\∠ DAG=∠ DCG \\GD=GD\end{array} $
∴ $△ AGD≌△ CGD$（AAS），
∴ $AD=CD$，$AG=CG$，
∵ $CF⊥AB$，$AE⊥BC$，
∴ $∠ AFG=∠ CEG=90°$，
在$△ AGF$和$△ CGE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ AFG=∠ CEG \\AG=CG \\∠ AGF=∠ CGE\end{array} $
∴ $△ AGF≌△ CGE$（ASA），
∴ $∠ 3=∠ GCE$，
∵ $∠ 3=∠ 4$，
∴ $∠ 4=∠ GCE$，
∴ $AB//CD$（内错角相等，两直线平行），
又∵ $AD//BC$，
∴ 四边形$ABCD$为平行四边形。
（2）解：
在$Rt△ AGD$中，$∠ DAG=90°$，$AG=3$，$DG=5$，
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{DG^2-AG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
由（1）知$△ AGD≌△ CGD$，四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $CG=AG=3$，$∠ DCG=90°$，
∴ 四边形$AGCD$的面积$=AD×AG=4×3=12$，
又∵ $△ AGF≌△ CGE$，
∴ $S_{△ AGF}=S_{△ CGE}$，
∴ 四边形$ABCD$的面积$=2×S_{四边形AGCD}=2×12=24$。
答：四边形$ABCD$的面积为24。
∵ $AD//BC$，$AE⊥BC$，
∴ $AE⊥AD$，即$∠ DAG=90°$，
∵ $∠ 1=∠ 2$，$GE⊥BC$，
∴ $GD⊥DC$，即$∠ DCG=90°$，
∴ $∠ DAG=∠ DCG=90°$，
在$△ AGD$和$△ CGD$中，
$\{\begin{array}{l}∠ 3=∠ 4 \\∠ DAG=∠ DCG \\GD=GD\end{array} $
∴ $△ AGD≌△ CGD$（AAS），
∴ $AD=CD$，$AG=CG$，
∵ $CF⊥AB$，$AE⊥BC$，
∴ $∠ AFG=∠ CEG=90°$，
在$△ AGF$和$△ CGE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ AFG=∠ CEG \\AG=CG \\∠ AGF=∠ CGE\end{array} $
∴ $△ AGF≌△ CGE$（ASA），
∴ $∠ 3=∠ GCE$，
∵ $∠ 3=∠ 4$，
∴ $∠ 4=∠ GCE$，
∴ $AB//CD$（内错角相等，两直线平行），
又∵ $AD//BC$，
∴ 四边形$ABCD$为平行四边形。
（2）解：
在$Rt△ AGD$中，$∠ DAG=90°$，$AG=3$，$DG=5$，
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{DG^2-AG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
由（1）知$△ AGD≌△ CGD$，四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $CG=AG=3$，$∠ DCG=90°$，
∴ 四边形$AGCD$的面积$=AD×AG=4×3=12$，
又∵ $△ AGF≌△ CGE$，
∴ $S_{△ AGF}=S_{△ CGE}$，
∴ 四边形$ABCD$的面积$=2×S_{四边形AGCD}=2×12=24$。
答：四边形$ABCD$的面积为24。
