1. 下列条件中能确定一个圆的是( )
A.已知圆心
B.已知半径
C.过三个已知点
D.过三角形的三个顶点
A.已知圆心
B.已知半径
C.过三个已知点
D.过三角形的三个顶点
答案
D
解析
A. 已知圆心，半径不确定，不能确定一个圆；
B. 已知半径，圆心不确定，不能确定一个圆；
C. 过三个已知点，若三点共线，不能确定一个圆；
D. 过三角形的三个顶点，三角形的三个顶点不共线，能确定一个圆。
结论：D
B. 已知半径，圆心不确定，不能确定一个圆；
C. 过三个已知点，若三点共线，不能确定一个圆；
D. 过三角形的三个顶点，三角形的三个顶点不共线，能确定一个圆。
结论：D
2. 三角形的外心具有的性质是 ( )
A.到三边的距离相等
B.到三个顶点的距离相等
C.外心在三角形外
D.外心在三角形内
A.到三边的距离相等
B.到三个顶点的距离相等
C.外心在三角形外
D.外心在三角形内
答案
B
3. 如图,点 A,B,C 均在 6×6 的正方形网格的格点上,过 A,B,C 三点的圆除经过 A,B,C 三点外还能经过的格点有( ) 
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
D
解析
以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，则A(0,1)，B(1,2)，C(4,1)。
设过A,B,C三点的圆的一般方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，代入三点坐标得：
$\begin{cases}0^2 + 1^2 + D \cdot 0 + E \cdot 1 + F = 0 \\1^2 + 2^2 + D \cdot 1 + E \cdot 2 + F = 0 \\4^2 + 1^2 + D \cdot 4 + E \cdot 1 + F = 0\end{cases}$
解得$D = -4$，$E = -2$，$F = 1$，圆的方程为$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$，化为标准方程$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$，圆心(2,1)，半径2。
在6×6网格中，格点坐标(x,y)满足0≤x≤5，0≤y≤5（x,y为整数）。设格点(x,y)在圆上，则$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$。
整数解有：
$x - 2 = 0$，$y - 1 = ±2$，得(2,3)，(2,-1)（舍）；
$x - 2 = ±2$，$y - 1 = 0$，得(4,1)，(0,1)；
$x - 2 = ±\sqrt{4 - (y - 1)^2}$，$y - 1 = ±1$时无整数x；$y - 1 = 0$已讨论；
其他解：(1,2)，(3,0)，(3,2)，(5,1)。
除A(0,1)、B(1,2)、C(4,1)外，还有(2,3)，(3,0)，(3,2)，(5,1)共4个格点。
C
设过A,B,C三点的圆的一般方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，代入三点坐标得：
$\begin{cases}0^2 + 1^2 + D \cdot 0 + E \cdot 1 + F = 0 \\1^2 + 2^2 + D \cdot 1 + E \cdot 2 + F = 0 \\4^2 + 1^2 + D \cdot 4 + E \cdot 1 + F = 0\end{cases}$
解得$D = -4$，$E = -2$，$F = 1$，圆的方程为$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$，化为标准方程$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$，圆心(2,1)，半径2。
在6×6网格中，格点坐标(x,y)满足0≤x≤5，0≤y≤5（x,y为整数）。设格点(x,y)在圆上，则$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$。
整数解有：
$x - 2 = 0$，$y - 1 = ±2$，得(2,3)，(2,-1)（舍）；
$x - 2 = ±2$，$y - 1 = 0$，得(4,1)，(0,1)；
$x - 2 = ±\sqrt{4 - (y - 1)^2}$，$y - 1 = ±1$时无整数x；$y - 1 = 0$已讨论；
其他解：(1,2)，(3,0)，(3,2)，(5,1)。
除A(0,1)、B(1,2)、C(4,1)外，还有(2,3)，(3,0)，(3,2)，(5,1)共4个格点。
C
4. 在 $Rt\triangle ABC$ 中,$AB= 6$,$BC= 8$,那么这个三角形的外接圆直径是 ( )
A.5
B.10
C.5 或 4
D.10 或 8
A.5
B.10
C.5 或 4
D.10 或 8
答案
D
解析
在$Rt\triangle ABC$中，已知两边长$AB = 6$，$BC = 8$，需分两种情况讨论：
情况1：$BC$为斜边
此时直角边为$AB = 6$，另一条直角边设为$AC$。根据勾股定理，斜边$BC = 8$，则外接圆直径等于斜边长度，即直径为$8$。
情况2：$AC$为斜边
此时$AB = 6$和$BC = 8$为两条直角边。根据勾股定理，斜边$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$，则外接圆直径等于斜边长度，即直径为$10$。
综上，外接圆直径为$10$或$8$。
D
情况1：$BC$为斜边
此时直角边为$AB = 6$，另一条直角边设为$AC$。根据勾股定理，斜边$BC = 8$，则外接圆直径等于斜边长度，即直径为$8$。
情况2：$AC$为斜边
此时$AB = 6$和$BC = 8$为两条直角边。根据勾股定理，斜边$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$，则外接圆直径等于斜边长度，即直径为$10$。
综上，外接圆直径为$10$或$8$。
D
5. 下列命题中,正确的是 ( )
A.三点确定一个圆
B.圆有且只有一个内接三角形
C.三角形有且只有一个外接圆
D.菱形的四个顶点在同一个圆上
A.三点确定一个圆
B.圆有且只有一个内接三角形
C.三角形有且只有一个外接圆
D.菱形的四个顶点在同一个圆上
答案
C
6. 直角三角形的外心是______；若三角形的外心在三角形的外部,则这个三角形是______三角形.
答案
斜边的中点 钝角
7. 如图,点 A,B,C 均在直线 $l$ 上,点 P 在直线 $l$ 外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为______.
答案
3
解析
经过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。
点A、B、C在同一直线l上，点P在直线l外。
情况1：点P、A、B，不在同一直线上，可确定1个圆；
情况2：点P、A、C，不在同一直线上，可确定1个圆；
情况3：点P、B、C，不在同一直线上，可确定1个圆；
情况4：点A、B、C，在同一直线上，不能确定圆。
最多可画出圆的个数为3。
点A、B、C在同一直线l上，点P在直线l外。
情况1：点P、A、B，不在同一直线上，可确定1个圆；
情况2：点P、A、C，不在同一直线上，可确定1个圆；
情况3：点P、B、C，不在同一直线上，可确定1个圆；
情况4：点A、B、C，在同一直线上，不能确定圆。
最多可画出圆的个数为3。
8. 聪聪用铅笔在一张白纸上点了一点 O,然后拿起一把直尺,平放在纸上,让尺子的一条边贴住这个点 O,用铅笔沿直尺的另一边画了一条直线(如图 1),聪聪又把尺子换了位置,用刚才的方法接着画出了第二条直线、第三条直线……(如图 2),慢慢地中间出现了一个圆(如图 3).请说说聪聪用直尺画圆的道理是______.
答案
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
9. 已知线段 $AB= 6\ cm$.
(1)画半径为 $4\ cm$ 的圆,使它经过 A,B 两点,这样的圆能画几个？
(2)画半径为 $3\ cm$ 的圆,使它经过 A,B 两点,这样的圆能画几个？
(3)画半径为 $2\ cm$ 的圆,使它经过 A,B 两点,这样的圆能画几个？
(1)画半径为 $4\ cm$ 的圆,使它经过 A,B 两点,这样的圆能画几个？
(2)画半径为 $3\ cm$ 的圆,使它经过 A,B 两点,这样的圆能画几个？
(3)画半径为 $2\ cm$ 的圆,使它经过 A,B 两点,这样的圆能画几个？
答案
解:
(1)这样的圆能画2个,如图1.
作AB的垂直平分线l,再以点A为圆心、4 cm为半径作弧交l于O₁和O₂,然后分别以O₁和O₂为圆心、4 cm为半径作圆,则$\odot O_{1}$和$\odot O_{2}$为所求.
(2)这样的圆能画1个,如图2.
作AB的垂直平分线l,交AB于点O,然后以O为圆心、3 cm为半径作圆,则$\odot O$为所求.
(3)这样的圆不存在.
