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12. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = CD$，$∠ B=∠ D$. 在此基础上，对它 “强化条件”，分别得到图中的三个命题.
（1）命题 1 的证明思路如下. 在上图中连接 $AC$，$BD$，并将证明思路补充完整.
①
（2）请证明命题 2 是真命题.
（1）命题 1 的证明思路如下. 在上图中连接 $AC$，$BD$，并将证明思路补充完整.
①
∠BAD=∠CDA
；②△ABC≌△DCB
；③∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA
.（2）请证明命题 2 是真命题.
答案
12. (1) ①∠BAD=∠CDA；②△ABC≌△DCB；③∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA (2) 连接AC.
∵∠ABC=∠ADC，∠ABC=90°，
∴∠ADC=90°.
∵AB=CD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).
∴AD=CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形
∵∠ABC=∠ADC，∠ABC=90°，
∴∠ADC=90°.
∵AB=CD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).
∴AD=CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形
解析
【分析】
(1) 命题1的证明思路：已知$AB=CD$，$∠B=∠D$，连接$AC$、$BD$后，首先结合已知条件可推导得出$∠BAD=∠CDA$；接着利用$AB=CD$、$∠ABC=∠DCB$（由$∠BAD=∠CDA$及四边形内角和关系可得）和公共边$BC=CB$，证明$△ABC≌△DCB$；最后由全等三角形的对应角相等，结合之前的结论，可推出四边形的四个内角相等，即$∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA$，进而完成证明。
(2) 命题2的证明思路：已知$∠ABC=90°$，结合原条件$∠B=∠D$，可先得出$∠ADC=90°$；通过连接$AC$，利用HL定理证明$Rt△ABC≌Rt△CDA$，得到$AD=CB$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形$ABCD$是平行四边形；再结合$∠ABC=90°$，利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可证明命题2为真命题。
【解析】
(1) ①$\boldsymbol{∠BAD=∠CDA}$；②$\boldsymbol{△ABC≌△DCB}$；③$\boldsymbol{∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA}$
(2) 连接$AC$.
$\because ∠ABC=∠ADC$，$∠ABC=90°$，
$\therefore ∠ADC=90°$.
$\because AB=CD$，$AC=AC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△CDA(\mathrm{HL})$.
$\therefore AD=CB$.
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
$\because ∠ABC=90°$，
$\therefore □ABCD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{∠BAD=∠CDA}$；②$\boldsymbol{△ABC≌△DCB}$；③$\boldsymbol{∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA}$
(2) 证明过程见上述解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 矩形的判定
3. 平行四边形的判定
【点评】
本题围绕四边形的性质与判定展开，重点考查了直角三角形全等的HL判定定理，以及平行四边形、矩形的判定方法。解题的关键是通过添加辅助线构造全等三角形，将四边形问题转化为三角形问题解决，培养了逻辑推理与转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 命题1的证明思路：已知$AB=CD$，$∠B=∠D$，连接$AC$、$BD$后，首先结合已知条件可推导得出$∠BAD=∠CDA$；接着利用$AB=CD$、$∠ABC=∠DCB$（由$∠BAD=∠CDA$及四边形内角和关系可得）和公共边$BC=CB$，证明$△ABC≌△DCB$；最后由全等三角形的对应角相等，结合之前的结论，可推出四边形的四个内角相等，即$∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA$，进而完成证明。
(2) 命题2的证明思路：已知$∠ABC=90°$，结合原条件$∠B=∠D$，可先得出$∠ADC=90°$；通过连接$AC$，利用HL定理证明$Rt△ABC≌Rt△CDA$，得到$AD=CB$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形$ABCD$是平行四边形；再结合$∠ABC=90°$，利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可证明命题2为真命题。
【解析】
(1) ①$\boldsymbol{∠BAD=∠CDA}$；②$\boldsymbol{△ABC≌△DCB}$；③$\boldsymbol{∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA}$
(2) 连接$AC$.
$\because ∠ABC=∠ADC$，$∠ABC=90°$，
$\therefore ∠ADC=90°$.
$\because AB=CD$，$AC=AC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△CDA(\mathrm{HL})$.
$\therefore AD=CB$.
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
$\because ∠ABC=90°$，
$\therefore □ABCD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{∠BAD=∠CDA}$；②$\boldsymbol{△ABC≌△DCB}$；③$\boldsymbol{∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA}$
(2) 证明过程见上述解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 矩形的判定
3. 平行四边形的判定
【点评】
本题围绕四边形的性质与判定展开，重点考查了直角三角形全等的HL判定定理，以及平行四边形、矩形的判定方法。解题的关键是通过添加辅助线构造全等三角形，将四边形问题转化为三角形问题解决，培养了逻辑推理与转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
