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活动一:忆一忆 说一说
回忆分数的乘除运算法则,你认为课本中小明与小丽计算 $ a ÷ b · \frac{1}{b} $ 的方法哪一个正确?说明理由.
回忆分数的乘除运算法则,你认为课本中小明与小丽计算 $ a ÷ b · \frac{1}{b} $ 的方法哪一个正确?说明理由.
答案
小丽的方法正确。理由：乘除是同级运算，应从左到右依次计算，$a÷ b·\frac{1}{b}=\frac{a}{b}·\frac{1}{b}=\frac{a}{b^2}$，小明可能先计算了$b·\frac{1}{b}$，违背了运算顺序。
解析
【解析】
乘除属于同级运算，应遵循从左到右的运算顺序。计算$a ÷ b · \frac{1}{b}$时，需先算除法再算乘法：$a÷ b·\frac{1}{b}=\frac{a}{b}·\frac{1}{b}=\frac{a}{b^2}$。小明的做法错误，因为他违背了同级运算从左到右的顺序，先计算了$b·\frac{1}{b}$，不符合运算规则，故小丽的方法正确。
【答案】
小丽的方法正确。
【知识点】
分式乘除运算顺序、同级运算顺序
【点评】
本题考查分式乘除运算的核心规则，着重强调同级运算需从左到右依次进行，警示学生避免因错误改变运算顺序导致结果出错，帮助巩固基础运算逻辑。
【难度系数】
0.8
乘除属于同级运算，应遵循从左到右的运算顺序。计算$a ÷ b · \frac{1}{b}$时，需先算除法再算乘法：$a÷ b·\frac{1}{b}=\frac{a}{b}·\frac{1}{b}=\frac{a}{b^2}$。小明的做法错误，因为他违背了同级运算从左到右的顺序，先计算了$b·\frac{1}{b}$，不符合运算规则，故小丽的方法正确。
【答案】
小丽的方法正确。
【知识点】
分式乘除运算顺序、同级运算顺序
【点评】
本题考查分式乘除运算的核心规则，着重强调同级运算需从左到右依次进行，警示学生避免因错误改变运算顺序导致结果出错，帮助巩固基础运算逻辑。
【难度系数】
0.8
1. 你认为分式的乘除运算顺序应该是怎样的? 如果是加、减、乘、除混合运算呢?
答案
答题卡作答：
1.分式的乘除运算顺序：
在没有括号的情况下，按“从左到右”的顺序依次进行乘除运算；有括号时，先算括号内的分式运算，再按“从左到右”的顺序进行乘除运算。
分式的加、减、乘、除混合运算顺序：
先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的分式运算；同级运算时，按“从左到右”的顺序依次进行运算。
1.分式的乘除运算顺序：
在没有括号的情况下，按“从左到右”的顺序依次进行乘除运算；有括号时，先算括号内的分式运算，再按“从左到右”的顺序进行乘除运算。
分式的加、减、乘、除混合运算顺序：
先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的分式运算；同级运算时，按“从左到右”的顺序依次进行运算。
解析
【解析】
分式的乘除运算顺序：在没有括号的情况下，按“从左到右”的顺序依次进行乘除运算；有括号时，先算括号内的分式运算，再按“从左到右”的顺序进行乘除运算。
分式的加、减、乘、除混合运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的分式运算；同级运算时，按“从左到右”的顺序依次进行运算。
【答案】
分式的乘除运算顺序：在没有括号的情况下，按“从左到右”的顺序依次进行乘除运算；有括号时，先算括号内的分式运算，再按“从左到右”的顺序进行乘除运算。
分式的加、减、乘、除混合运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的分式运算；同级运算时，按“从左到右”的顺序依次进行运算。
【知识点】
分式乘除运算顺序、分式混合运算顺序
【点评】
本题考查分式运算顺序的基本概念，明确运算顺序是正确进行分式运算的关键，可有效避免因运算顺序错误导致的计算失误。
【难度系数】
0.8
分式的乘除运算顺序：在没有括号的情况下，按“从左到右”的顺序依次进行乘除运算；有括号时，先算括号内的分式运算，再按“从左到右”的顺序进行乘除运算。
分式的加、减、乘、除混合运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的分式运算；同级运算时，按“从左到右”的顺序依次进行运算。
【答案】
分式的乘除运算顺序：在没有括号的情况下，按“从左到右”的顺序依次进行乘除运算；有括号时，先算括号内的分式运算，再按“从左到右”的顺序进行乘除运算。
分式的加、减、乘、除混合运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的分式运算；同级运算时，按“从左到右”的顺序依次进行运算。
【知识点】
分式乘除运算顺序、分式混合运算顺序
【点评】
本题考查分式运算顺序的基本概念，明确运算顺序是正确进行分式运算的关键，可有效避免因运算顺序错误导致的计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 计算.
(1) $ \frac{b^{2}}{a^{3}} ÷ \frac{6b}{a^{2}} · \frac{3a}{b} $;
(2) $ \frac{1}{x + 1} - \frac{x + 3}{x^{2} - 1} · \frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} + 6x + 9} $.
(1) $ \frac{b^{2}}{a^{3}} ÷ \frac{6b}{a^{2}} · \frac{3a}{b} $;
(2) $ \frac{1}{x + 1} - \frac{x + 3}{x^{2} - 1} · \frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} + 6x + 9} $.
答案
2. (1) $\dfrac{1}{2}$ (2) $\dfrac{4}{x^{2}+4x+3}$
解析
【解析】
(1) 解：原式$=\frac{b^{2}}{a^{3}} · \frac{a^{2}}{6b} · \frac{3a}{b}$
$=\frac{b^2 · a^2 · 3a}{a^3 · 6b · b}$
$=\frac{3a^3b^2}{6a^3b^2}$
$=\frac{1}{2}$
(2) 解：原式$=\frac{1}{x + 1} - \frac{x + 3}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x-1)^2}{(x+3)^2}$
$=\frac{1}{x + 1} - \frac{x-1}{(x+1)(x+3)}$
$=\frac{x+3 - (x-1)}{(x+1)(x+3)}$
$=\frac{4}{(x+1)(x+3)}$
$=\frac{4}{x^2+4x+3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{4}{x^{2}+4x+3}}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，需遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，运算中要通过因式分解简化分式，再进行约分、通分，注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.6
(1) 解：原式$=\frac{b^{2}}{a^{3}} · \frac{a^{2}}{6b} · \frac{3a}{b}$
$=\frac{b^2 · a^2 · 3a}{a^3 · 6b · b}$
$=\frac{3a^3b^2}{6a^3b^2}$
$=\frac{1}{2}$
(2) 解：原式$=\frac{1}{x + 1} - \frac{x + 3}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x-1)^2}{(x+3)^2}$
$=\frac{1}{x + 1} - \frac{x-1}{(x+1)(x+3)}$
$=\frac{x+3 - (x-1)}{(x+1)(x+3)}$
$=\frac{4}{(x+1)(x+3)}$
$=\frac{4}{x^2+4x+3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{4}{x^{2}+4x+3}}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，需遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，运算中要通过因式分解简化分式，再进行约分、通分，注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.6
3. 请你说说在进行分式的混合运算时有哪些注意点.
答案
3. 分式的混合运算首先要注意运算的顺序,其次要检查运算结果是否为最简分式或整式
解析
【解析】
进行分式的混合运算时，首先要严格遵循运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算；其次，运算完成后要检查所得结果，确保其为最简分式或整式，若不是需通过约分等操作化简至最简形式。
【答案】
分式的混合运算首先要注意运算的顺序，其次要检查运算结果是否为最简分式或整式
【知识点】
分式混合运算规则
【点评】
掌握分式混合运算的注意点，能有效规避运算错误，保证运算结果的规范性与准确性，是分式运算的基础核心要求。
【难度系数】
0.8
进行分式的混合运算时，首先要严格遵循运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算；其次，运算完成后要检查所得结果，确保其为最简分式或整式，若不是需通过约分等操作化简至最简形式。
【答案】
分式的混合运算首先要注意运算的顺序，其次要检查运算结果是否为最简分式或整式
【知识点】
分式混合运算规则
【点评】
掌握分式混合运算的注意点，能有效规避运算错误，保证运算结果的规范性与准确性，是分式运算的基础核心要求。
【难度系数】
0.8
1. 填空:
(1) $ \frac{y}{x} · \frac{x^{3}}{y} ÷ \frac{x}{y} = $
(2) $ \frac{3x - y}{x + y} ÷ (y - 3x) · (x^{2} - y^{2}) = $
(3) $ 1 - \frac{x - 2}{x} ÷ \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + x} = $
(4) $ \frac{4}{x^{2} - 1} ÷ \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{1 - x} = $
(1) $ \frac{y}{x} · \frac{x^{3}}{y} ÷ \frac{x}{y} = $
$xy$
;(2) $ \frac{3x - y}{x + y} ÷ (y - 3x) · (x^{2} - y^{2}) = $
$y - x$
;(3) $ 1 - \frac{x - 2}{x} ÷ \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + x} = $
$\dfrac{1}{x + 2}$
;(4) $ \frac{4}{x^{2} - 1} ÷ \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{1 - x} = $
$\dfrac{3}{x - 1}$
.答案
1. (1) $xy$ (2) $y - x$ (3) $\dfrac{1}{x + 2}$ (4) $\dfrac{3}{x - 1}$
解析
【解析】
(1) 原式$=\frac{y}{x} · \frac{x^{3}}{y} · \frac{y}{x}$，约分后得$xy$；
(2) 原式$=\frac{3x - y}{x + y} · \frac{1}{-(3x - y)} · (x + y)(x - y)$，约分后化简得$y - x$；
(3) 先算除法：$\frac{x - 2}{x} ÷ \frac{x^2 - 4}{x^2 + x}=\frac{x - 2}{x} · \frac{x(x + 1)}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{x + 1}{x + 2}$，再算减法：$1 - \frac{x + 1}{x + 2}=\frac{x + 2 - (x + 1)}{x + 2}=\frac{1}{x + 2}$；
(4) 先算除法：$\frac{4}{x^2 - 1} ÷ \frac{2}{x + 1}=\frac{4}{(x + 1)(x - 1)} · \frac{x + 1}{2}=\frac{2}{x - 1}$，再化简$\frac{1}{1 - x}=-\frac{1}{x - 1}$，则原式$=\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}=\frac{3}{x - 1}$。
【答案】
(1) $xy$；(2) $y - x$；(3) $\dfrac{1}{x + 2}$；(4) $\dfrac{3}{x - 1}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，需遵循先乘除后加减的运算顺序，熟练运用因式分解进行约分，注意符号的正确处理，避免因符号失误导致结果错误。
【难度系数】
0.6
(1) 原式$=\frac{y}{x} · \frac{x^{3}}{y} · \frac{y}{x}$，约分后得$xy$；
(2) 原式$=\frac{3x - y}{x + y} · \frac{1}{-(3x - y)} · (x + y)(x - y)$，约分后化简得$y - x$；
(3) 先算除法：$\frac{x - 2}{x} ÷ \frac{x^2 - 4}{x^2 + x}=\frac{x - 2}{x} · \frac{x(x + 1)}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{x + 1}{x + 2}$，再算减法：$1 - \frac{x + 1}{x + 2}=\frac{x + 2 - (x + 1)}{x + 2}=\frac{1}{x + 2}$；
(4) 先算除法：$\frac{4}{x^2 - 1} ÷ \frac{2}{x + 1}=\frac{4}{(x + 1)(x - 1)} · \frac{x + 1}{2}=\frac{2}{x - 1}$，再化简$\frac{1}{1 - x}=-\frac{1}{x - 1}$，则原式$=\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}=\frac{3}{x - 1}$。
【答案】
(1) $xy$；(2) $y - x$；(3) $\dfrac{1}{x + 2}$；(4) $\dfrac{3}{x - 1}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，需遵循先乘除后加减的运算顺序，熟练运用因式分解进行约分，注意符号的正确处理，避免因符号失误导致结果错误。
【难度系数】
0.6
2. 计算 $ (x + y) ÷ \frac{x + y}{x} · \frac{x}{x + y} $,下列结果正确的是 (
A.$ x + y $
B.$ \frac{x^{2}}{x + y} $
C.$ \frac{1}{y} $
D.$ \frac{1}{1 + y} $
B
)A.$ x + y $
B.$ \frac{x^{2}}{x + y} $
C.$ \frac{1}{y} $
D.$ \frac{1}{1 + y} $
答案
2. B
解析
【解析】
先将除法转化为乘法，再按从左到右的顺序计算：
原式$=(x + y) × \frac{x}{x + y} × \frac{x}{x + y}$
约分后得：$x × \frac{x}{x + y} = \frac{x^2}{x + y}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算、分式约分
【点评】
本题考查分式的乘除混合运算，关键是掌握除法变乘法的法则，严格按照从左到右的运算顺序计算，注意约分的准确性，避免因运算顺序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
先将除法转化为乘法，再按从左到右的顺序计算：
原式$=(x + y) × \frac{x}{x + y} × \frac{x}{x + y}$
约分后得：$x × \frac{x}{x + y} = \frac{x^2}{x + y}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算、分式约分
【点评】
本题考查分式的乘除混合运算，关键是掌握除法变乘法的法则，严格按照从左到右的运算顺序计算，注意约分的准确性，避免因运算顺序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
