6. 如图,△ABC为等边三角形,点D、E、F分别在AB、BC、CA上,且$AD = BE = CF$.
(1)$△ADF$、$△BED$、$△CFE$相似吗? 为什么?
(2)$△DEF$与$△ABC$相似吗? 为什么?
(第6题)

​​​解：(1)因为△ABC为等边三角形​​​
​​​所以AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°​​​
​​​又因为AD=BE=CF​​​
​​​所以AF= EC= BD​​​
​​​所以$\frac {AF}{AD}=\frac {BD}{BE}=\frac {CE}{CF}​​​$
​​​又∠A=∠B=∠C​​​
​​​所以△ADF∽△BED∽△CFE​​​
​​​(2)因为△ADF∽△BED∽△CFE​​​
​​​所以∠ADF=∠BED= ∠CFE，​​​
​​​∠AFD=∠BDE= ∠CEF​​​
​​​所以∠EDF= ∠DFE=∠DEF= 60°​​​
​​​所以△DEF为等边三角形​​​
​​​所以△DEF∽△ABC​​​

7. 如图,正方形ABCD的边长为2,$AE = EB$,$MN = 1$,线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动,并保持MN的长不变.在滑动过程中,以M、N、C为顶点的三角形有可能与△AED相似吗? 若可能,求出相似时CM的长.
(第7题)

​​​解：可能​​​
​​​因为正方形ABCD的边长为2 ， AE=EB ​​​
​​​所以AD=2 ， AE=1​​​
​​​所以$DE=\sqrt{AD²+AE²}=\sqrt{5}​​​$
​​​①当△AED∽△CMN时，​​​
$​​​\frac {AE}{CM}=\frac {DE}{MN}​​​$
​​​因为AE=1，$DE=\sqrt{5}，$MN=1​​​
​​​所以$\frac {1}{MN}=\frac {\sqrt{5}}{1}​​​$
​​​所以$CM=\frac {\sqrt{5}}{5}​​​$
​​​②当△AED∽△CNM时，​​​
$​​​\frac {AD}{CM}=\frac {DE}{MN}​​​$
​​​AD= 2，$DE=\sqrt{5}，$MN = 1​​​
​​​所以$\frac {2}{CM}=\frac {\sqrt{5}}{1}​​​$
​​​所以$CM=\frac {2\sqrt{5}}{5}​​​$
​​​综上所述，相似时CM的长为$\frac {\sqrt{5}}{5}$或$\frac {2\sqrt{5}}{5}​​​$