4. 若$\begin{cases}x = a, \\ y = b\end{cases}$是方程组$\begin{cases}2x + y = 3, \\ 3x - 2y = 7\end{cases}$的解，则 $5a - b$ 的值是 ______ 。

10

由题意，将$x = a$，$y = b$代入方程组：
$\begin{cases}2a + b = 3 \quad (1), \\3a - 2b = 7 \quad (2).\end{cases}$
为求$5a - b$，可以将方程(1)和方程(2)进行线性组合。
将方程(1)与方程(2)相加，即：
$2a + b + 3a - 2b = 3 + 7$，
得到：
$5a - b = 1 0$，
所以，$5a - b$的值为10。

5. 用加减法解方程组$\begin{cases}4(x - 1) = 7y + 12, \\ x - 6 = \frac{7y - 16}{6}.\end{cases}$

$\begin{cases}4(x - 1) = 7y + 12, \\ x - 6 = \frac{7y - 16}{6}.\end{cases}$
整理方程：
1. 对第一个方程去括号、移项：$4x - 4 = 7y + 12 ⇒ 4x - 7y = 16$（记为方程①）
2. 对第二个方程两边乘6去分母：$6(x - 6) = 7y - 16 ⇒ 6x - 36 = 7y - 16 ⇒ 6x - 7y = 20$（记为方程②）
用② - ①消去$y$：
$(6x - 7y) - (4x - 7y) = 20 - 16 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2$
将$x = 2$代入①：
$4×2 - 7y = 16 ⇒ 8 - 7y = 16 ⇒ -7y = 8 ⇒ y = -\frac{8}{7}$
方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = -\frac{8}{7}\end{cases}$

1. 解方程组$\begin{cases}3x + 2y = 9,① \\ x - y = 3②\end{cases}$时，将① + ②×2 消去 $y$，得到的方程正确的是( )。

A.$2x = 6$
B.$2x = 15$
C.$5x = 6$
D.$5x = 15$

D

将方程②$x - y = 3$两边同时乘以$2$，得到$2x - 2y = 6$③。
将方程①$3x + 2y = 9$与方程③相加，得到$3x + 2y + 2x - 2y = 9 + 6$，即$5x = 15$。

2. 解方程组$\begin{cases}2a + 2b = 3,① \\ 3a + b = 4②\end{cases}$时，下列消元方法不正确的是( )。

A.①×3 - ②×2，消去 $a$
B.由②，得 $b = 4 - 3a$ ③，把③代入①中消去 $b$
C.① + ②×2，消去 $b$
D.由②×2 - ①，消去 $b$

C

要判断哪种消元方法不正确，逐一分析选项：
选项A：将方程①乘以3，方程②乘以2，然后相减以消去$a$：
$3 × (2a + 2b) = 3 × 3 ⇒ 6a + 6b = 9$，
$2 × (3a + b) = 2 × 4 ⇒ 6a + 2b = 8$，
相减得到：$6a + 6b - 6a - 2b = 9 - 8 ⇒ 4b = 1$，
此时$a$被消去，该方法正确。
选项B：由方程②解出$b$：
$b = 4 - 3a \quad \mathrm{(方程③)}$，
将方程③代入方程①：
$2a + 2(4 - 3a) = 3 ⇒ 2a + 8 - 6a = 3 ⇒ -4a = -5$，
此时$b$被消去，该方法正确。
选项C：将方程②乘以2后与方程①相加：
$2 × (3a + b) = 2 × 4 ⇒ 6a + 2b = 8$，
相加得到：$2a + 2b + 6a + 2b = 3 + 8 ⇒ 8a + 4b = 11$，
此时$b$未被消去，该方法不正确。
选项D：将方程②乘以2后减去方程①：
$2 × (3a + b) = 2 × 4 ⇒ 6a + 2b = 8$，
相减得到：$6a + 2b - 2a - 2b = 8 - 3 ⇒ 4a = 5$ （此处原解析描述有误，应为$6a + 2b - 2a - 2b = 4a = 5$的简化过程，但核心意思$b$被消去无误），
此时$b$被消去，该方法正确。
综上所述，选项C的消元方法不正确。

3. 用加减法解下列方程组：
(1) $\begin{cases}2x + 3y = 16, \\ x + 2y = 10;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x - 5y = 12, \\ 4x + 3y = -2.\end{cases}$

(1) $\begin{cases}2x + 3y = 16, \quad① \\ x + 2y = 10. \quad②\end{cases}$
②×2，得$2x + 4y = 20. \quad③$
③ - ①，得$y = 4$.
把$y = 4$代入②，得$x + 2×4 = 10$，解得$x = 2$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\ y = 4.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x - 5y = 12, \quad① \\ 4x + 3y = -2. \quad②\end{cases}$
①×2，得$4x - 10y = 24. \quad③$
② - ③，得$13y = -26$，解得$y = -2$.
把$y = -2$代入①，得$2x - 5×(-2) = 12$，解得$x = 1$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1, \\ y = -2.\end{cases}$

4. 植树节这天有 20 名同学共种了 52 棵树苗，其中男同学每人种 3 棵树苗，女同学每人种 2 棵树苗，则男同学有名，女同学有名。

男同学有 12 名，女同学有 8 名（题目已经将答案处设置为填空形式，此处理解为分别填写男同学和女同学人数，答案依次为12，8）。

设男同学有 $x$ 名，则女同学有 $20 - x$ 名。
根据题意，男同学每人种 3 棵树苗，女同学每人种 2 棵树苗，总共种了 52 棵树苗，可以列出方程：
$3x + 2(20 - x) = 52$，
去括号得：
$3x + 40 - 2x = 52$，
移项并合并同类项得：
$x = 12$。
将 $x = 12$ 代入 $20 - x$ 得女同学的人数：
$20 - x = 20 - 12 = 8$。
所以，男同学有 12 名，女同学有 8 名。

5. （数学文化）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两，则牛、羊各直金几何？”译文：“有 5 头牛，2 只羊，值 19 两银子；2 头牛，5 只羊，值 16 两银子，则每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，每头牛、每只羊各值多少两银子？

设每头牛值 $x$ 两银子，每只羊值 $y$ 两银子。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}5x + 2y = 19 \quad (1) \\2x + 5y = 16 \quad (2)\end{cases}$
为了消去其中一个变量，我们可以将方程(1)乘以5，方程(2)乘以2，然后相减：
$5(5x + 2y) - 2(2x + 5y) = 5 × 19 - 2 × 16$
$25x + 10y - 4x - 10y = 95 - 32$
$21x = 63$
$x = 3$
将 $x = 3$ 代入方程(1)得：
$5 × 3 + 2y = 19$
$15 + 2y = 19$
$2y = 4$
$y = 2$
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 3 \\y = 2\end{cases}$
答：每头牛值 3 两银子，每只羊值 2 两银子。

6. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组$\begin{cases}2x + y = 3k + 2, \\ 4x - 3y = -k + 5,\end{cases}$若 $x - 2y = 1$，则 $k$ 的值为( )。

A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

A

$\begin{cases}2x + y = 3k + 2,① \\ 4x - 3y = -k + 5,②\end{cases}$
① - ②得：$(2x + y) - (4x - 3y) = (3k + 2) - (-k + 5)$
$2x + y - 4x + 3y = 3k + 2 + k - 5$
$-2x + 4y = 4k - 3$
两边同时除以$-2$得：$x - 2y = -2k + \frac{3}{2}$
因为$x - 2y = 1$，所以$-2k + \frac{3}{2} = 1$
$-2k = 1 - \frac{3}{2}$
$-2k = -\frac{1}{2}$
$k = \frac{1}{4}$