第1课时 平方根
课前预习
1. 平方根的定义
一般地，如果一个数 $ x $ 的等于 $ a $，即 $ x^{2}=a $，那么这个数 $ x $ 叫作 $ a $ 的平方根或二次方根. 表示方法：正数 $ a $ 的平方根可以用“$\pm\sqrt{a}$”表示，读作“正、负根号 $ a $”。
2. 开平方
求一个数 $ a $ 的的运算，叫作开平方. 其中 $ a $ 叫作被开方数.
3. 平方根的性质
正数有个平方根，它们互为；$ 0 $ 的平方根是；负数平方根.
4. 有无意义
当 $ a \_\_\_\_\_\_ 0 $ 时，$\sqrt{a}$ 有意义；
当 $ a \_\_\_\_\_\_ 0 $ 时，$\sqrt{a}$ 无意义.

1. 平方
2. 平方根
3. 两；相反数；$0$；没有
4. $≥$；$＜$

【例1】填空：
(1)$\sqrt{361}=$；
(2)$-\sqrt{12.25}=$；
(3)$\pm\sqrt{4\frac{21}{25}}=$.
重点必记
(1)符号 $\pm\sqrt{a}$ 只有当 $ a $ 大于或等于 $ 0 $ 时才有意义，$ a $ 小于 $ 0 $ 时无意义；
(2)$\sqrt{a}$ 表示正数 $ a $ 的正的平方根，$-\sqrt{a}$ 表示正数 $ a $ 的负的平方根，$\pm\sqrt{a}$ 表示正数 $ a $ 的平方根.

(1)
因为$19^2 = 361$，所以$\sqrt{361}=19$。
(2)
因为$3.5^2 = 12.25$，所以$-\sqrt{12.25}=-3.5$。
(3)
先将$4\frac{21}{25}$化为假分数$4\frac{21}{25}=\frac{4×25 + 21}{25}=\frac{121}{25}$。
因为$(\pm\frac{11}{5})^2=\frac{121}{25}$，所以$\pm\sqrt{4\frac{21}{25}}=\pm\frac{11}{5}=\pm2\frac{1}{5}$。
综上，答案依次为：(1)$19$；(2)$-3.5$；(3)$\pm2\frac{1}{5}$。

【例2】求下列各数的平方根：
（1）$0.36$；（2）$0$；（3）$(-\frac{2}{7})^{2}$；（4）$2\frac{7}{9}$.

（1）
因为$(\pm0.6)^2 = 0.36$，
所以$0.36$的平方根为$\pm 0.6$，
即$\pm\sqrt{0.36}=\pm 0.6$。
（2）
因为$0^2 = 0$，
所以$0$的平方根是$0$。
（3）
先计算$(-\frac{2}{7})^2=\frac{4}{49}$，
因为$(\pm\frac{2}{7})^2=\frac{4}{49}$，
所以$(-\frac{2}{7})^2$的平方根为$\pm\frac{2}{7}$，
即$\pm\sqrt{(-\frac{2}{7})^2}=\pm\frac{2}{7}$。
（4）
先将$2\frac{7}{9}$化为假分数：$2\frac{7}{9}=\frac{2×9 + 7}{9}=\frac{25}{9}$，
因为$(\pm\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，
所以$2\frac{7}{9}$的平方根为$\pm\frac{5}{3}$，
即$\pm\sqrt{2\frac{7}{9}}=\pm\sqrt{\frac{25}{9}}=\pm\frac{5}{3}$。

【变式1】下列说法中，正确的有().
①$\pm5$ 是 $ 25 $ 的平方根；②$ 49 $ 的平方根是$-7$；③$ 16 $ 的平方根是 $ 4 $；④$-3$ 是 $ 9 $ 的一个平方根.

A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

B

① 根据平方根的定义，若 $a^2 = b$，则 $a$ 是 $b$ 的平方根，
因为 $5^2 = 25$ 和 $(-5)^2 = 25$，
所以 $\pm5$ 是 $25$ 的平方根，
故①正确；
② 对于 $49$ 的平方根，需要找到满足 $a^2 = 49$ 的 $a$，
解得 $a = \pm7$，
所以 $49$ 的平方根是 $\pm7$，而不只是 $-7$，
故②错误；
③ 对于 $16$ 的平方根，需要找到满足 $a^2 = 16$ 的 $a$，
解得$a = \pm4$，
所以 $16$ 的平方根应该是 $\pm4$，而不只是 $4$，
故③错误；
④ 对于 $9$ 的平方根，需要找到满足 $a^2 = 9$ 的 $a$，
解得 $a = \pm3$，
所以 $-3$ 是 $9$ 的一个平方根，
故④正确。
综上，正确的有$2$个。