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1. 如图，数轴上表示$\sqrt{2}$的点是().
A.点$A$
B.点$B$
C.点$C$
D.点$D$
A.点$A$
B.点$B$
C.点$C$
D.点$D$
答案
C
解析
因为$1^2 = 1$，$2^2 = 4$，所以$1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$。观察数轴，点B在0和1之间，点C在1和2之间，故表示$\sqrt{2}$的点是点C。
2. 下列无理数中，介于$4$和$5$之间的数是().
A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{23}$
D.$\sqrt{28}$
A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{23}$
D.$\sqrt{28}$
答案
C
解析
首先计算各选项的平方根值所处的整数范围。
A. $\sqrt{7}$：因 $4＜7＜9$，故 $2＜\sqrt{7}＜3$，不满足条件；
B. $\sqrt{13}$：因 $9＜13＜16$，故 $3＜\sqrt{13}＜4$，不满足条件；
C. $\sqrt{23}$：因 $16＜23＜25$，故 $4＜\sqrt{23}＜5$，满足条件；
D. $\sqrt{28}$：因 $25＜28＜36$，故 $5＜\sqrt{28}＜6$，不满足条件。
A. $\sqrt{7}$：因 $4＜7＜9$，故 $2＜\sqrt{7}＜3$，不满足条件；
B. $\sqrt{13}$：因 $9＜13＜16$，故 $3＜\sqrt{13}＜4$，不满足条件；
C. $\sqrt{23}$：因 $16＜23＜25$，故 $4＜\sqrt{23}＜5$，满足条件；
D. $\sqrt{28}$：因 $25＜28＜36$，故 $5＜\sqrt{28}＜6$，不满足条件。
3. 估计$\sqrt{54}-4$的值在().
A.$6$到$7$之间
B.$5$到$6$之间
C.$4$到$5$之间
D.$3$到$4$之间
A.$6$到$7$之间
B.$5$到$6$之间
C.$4$到$5$之间
D.$3$到$4$之间
答案
D
解析
因为$49 ＜ 54 ＜ 64$，所以$\sqrt{49} ＜ \sqrt{54} ＜ \sqrt{64}$，即$7 ＜ \sqrt{54} ＜ 8$，则$7 - 4 ＜ \sqrt{54} - 4 ＜ 8 - 4$，$3 ＜ \sqrt{54} - 4 ＜ 4$。
4. 比较大小：$\sqrt{5}\_\_\_\_\_\_\sqrt{6}$；$\sqrt[3]{20}\_\_\_\_\_\_3$.(选填“$＞$”或“$＜$”)
答案
$＜$；$＜$
解析
对于$\sqrt{5}$与$\sqrt{6}$，因为被开方数越大，其算术平方根越大，$5＜6$，所以$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$；
对于$\sqrt[3]{20}$与$3$，因为$3 = \sqrt[3]{27}$，且被开方数越大，其立方根越大，$20＜27$，所以$\sqrt[3]{20}＜\sqrt[3]{27}$，即$\sqrt[3]{20}＜3$。
对于$\sqrt[3]{20}$与$3$，因为$3 = \sqrt[3]{27}$，且被开方数越大，其立方根越大，$20＜27$，所以$\sqrt[3]{20}＜\sqrt[3]{27}$，即$\sqrt[3]{20}＜3$。
5. 比较大小：$-\sqrt{5}+1$与$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
答案
$-\sqrt{5}+1＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
对两数取绝对值变形后判断原数大小（因为两数均为负数，绝对值大的原数反而小）：
$\vert - \sqrt{5}+1（实际比较时用1 - \sqrt{5}）\vert=\sqrt{5}-1\approx2.236 - 1 = 1.236$。
$\vert-\frac{\sqrt{2}}{2}\vert=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx\frac{1.414}{2}=0.707$。
因为$\sqrt{5}-1＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$1 - \sqrt{5}＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$（根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小），即$-\sqrt{5}+1＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\vert - \sqrt{5}+1（实际比较时用1 - \sqrt{5}）\vert=\sqrt{5}-1\approx2.236 - 1 = 1.236$。
$\vert-\frac{\sqrt{2}}{2}\vert=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx\frac{1.414}{2}=0.707$。
因为$\sqrt{5}-1＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$1 - \sqrt{5}＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$（根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小），即$-\sqrt{5}+1＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
6. 若$\sqrt{5}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$2a + b$等于().
A.$\sqrt{5}+1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}+2$
D.$\sqrt{5}-2$
A.$\sqrt{5}+1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}+2$
D.$\sqrt{5}-2$
答案
C
解析
因为$2^2 = 4 ＜ 5 ＜ 9 = 3^2$，所以$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，则$a = 2$，$b = \sqrt{5} - 2$。$2a + b = 2×2 + (\sqrt{5} - 2) = 4 + \sqrt{5} - 2 = \sqrt{5} + 2$
7. 正整数$a$，$b$分别满足$\sqrt[3]{53}＜a＜\sqrt[3]{98}$，$\sqrt{2}＜b＜\sqrt{7}$，则$b^{a}$等于().
A.$4$
B.$8$
C.$9$
D.$16$
A.$4$
B.$8$
C.$9$
D.$16$
答案
D
解析
因为$3^3=27$，$4^3=64$，$5^3=125$，且$\sqrt[3]{53}＜a＜\sqrt[3]{98}$，所以$a=4$；因为$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，且$\sqrt{2}＜b＜\sqrt{7}$，所以$b=2$；则$b^a=2^4=16$。
8. 满足$m＞|1-\sqrt{10}|$的整数$m$的值可能是().
A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$0$
A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$0$
答案
A
类型四 利用估值解决实际问题
9. 如图，计划围一个长方形场地$ABCD(AB＜BC)$，其面积为$50\ \mathrm{m}^2$，一边靠墙（墙长为$10\ \mathrm{m}$），另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为$5:2$.这样的计划能实现吗？为什么？
9. 如图，计划围一个长方形场地$ABCD(AB＜BC)$，其面积为$50\ \mathrm{m}^2$，一边靠墙（墙长为$10\ \mathrm{m}$），另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为$5:2$.这样的计划能实现吗？为什么？
答案
不能
解析
设长方形场地$ABCD$的长为$5x$米，宽为$2x$米，根据题意，面积为$50\ \mathrm{m}^2$，因此：
$5x × 2x = 50$，
$10x^2 = 50$，
$x^2 = 5$，
$x = \sqrt{5}$。
所以，长为$5x = 5\sqrt{5}$米，宽为$2x = 2\sqrt{5}$米。
由于$2\sqrt{5} \approx 4.47$，因此：
$5\sqrt{5} \approx 11.18$（米）。
墙的长度为$10$米，而计算出的长$5\sqrt{5} \approx 11.18$米，超过了墙的长度，因此计划不能实现。
$5x × 2x = 50$，
$10x^2 = 50$，
$x^2 = 5$，
$x = \sqrt{5}$。
所以，长为$5x = 5\sqrt{5}$米，宽为$2x = 2\sqrt{5}$米。
由于$2\sqrt{5} \approx 4.47$，因此：
$5\sqrt{5} \approx 11.18$（米）。
墙的长度为$10$米，而计算出的长$5\sqrt{5} \approx 11.18$米，超过了墙的长度，因此计划不能实现。
10. 小明现有一块面积为$900\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸板，他准备用这块纸板自制一个书架装饰品，他设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为$750\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸板；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为$750\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸板，且其长、宽之比为$3:2$.
小明设计的两种方案是否可行？若可行，说明如何裁剪；若不可行，请说明理由.
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为$750\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸板；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为$750\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸板，且其长、宽之比为$3:2$.
小明设计的两种方案是否可行？若可行，说明如何裁剪；若不可行，请说明理由.
答案
方案一：
正方形纸板边长：$\sqrt{900}=30\ \mathrm{cm}$。
设长方形长为$30\ \mathrm{cm}$（与正方形边长相等），则宽为$750÷30=25\ \mathrm{cm}$。
因为$25\ \mathrm{cm}＜30\ \mathrm{cm}$，所以可裁出长$30\ \mathrm{cm}$、宽$25\ \mathrm{cm}$的长方形。
方案一可行。
方案二：
设长方形长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$，则$3x·2x=750$，即$6x^2=750$，$x^2=125$，$x=5\sqrt{5}$。
长：$3x=15\sqrt{5}\approx15×2.236=33.54\ \mathrm{cm}$。
因为$33.54\ \mathrm{cm}＞30\ \mathrm{cm}$（正方形边长），无法裁剪。
方案二不可行。
结论：方案一可行，方案二不可行。
正方形纸板边长：$\sqrt{900}=30\ \mathrm{cm}$。
设长方形长为$30\ \mathrm{cm}$（与正方形边长相等），则宽为$750÷30=25\ \mathrm{cm}$。
因为$25\ \mathrm{cm}＜30\ \mathrm{cm}$，所以可裁出长$30\ \mathrm{cm}$、宽$25\ \mathrm{cm}$的长方形。
方案一可行。
方案二：
设长方形长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$，则$3x·2x=750$，即$6x^2=750$，$x^2=125$，$x=5\sqrt{5}$。
长：$3x=15\sqrt{5}\approx15×2.236=33.54\ \mathrm{cm}$。
因为$33.54\ \mathrm{cm}＞30\ \mathrm{cm}$（正方形边长），无法裁剪。
方案二不可行。
结论：方案一可行，方案二不可行。
