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1. 如图，D 是△ABC 内一点，连接 AD，BD，CD，E，F，G，H 分别为 AB，BD，CD，AC 的中点。若 BC = 10，AD = 6，则四边形 EFGH 的周长是。
答案
16
解析
∵E，H分别为AB，AC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH=1/2BC=5，EH//BC。∵F，G分别为BD，CD的中点，∴FG是△DBC的中位线，∴FG=1/2BC=5，FG//BC。∴EH=FG，EH//FG，∴四边形EFGH是平行四边形。∵E，F分别为AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF=1/2AD=3。∴四边形EFGH的周长=2×(EH+EF)=2×(5+3)=16。
2. 如图，在▱ABCD 中，AB = 3，BE 平分∠ABC，交 AD 于点 E，DE = 2。若 F，G 分别是 BE，CE 的中点，则 FG 的长为。
答案
2.5
解析
在▱ABCD中，AD//BC，AB=CD=3，AD=BC。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE。
∵AD//BC，∴∠AEB=∠CBE（内错角相等），∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3。
∵DE=2，∴AD=AE+DE=3+2=5，∴BC=AD=5。
∵F，G分别是BE，CE的中点，∴FG是△BEC的中位线，∴FG=1/2BC=1/2×5=2.5。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE。
∵AD//BC，∴∠AEB=∠CBE（内错角相等），∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3。
∵DE=2，∴AD=AE+DE=3+2=5，∴BC=AD=5。
∵F，G分别是BE，CE的中点，∴FG是△BEC的中位线，∴FG=1/2BC=1/2×5=2.5。
3. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，AE 平分∠BAC，AE⊥BE，AB = 3，AC = 5，则 DE =。
答案
1
解析
延长BE交AC于点F。
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠FAE。
∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠AEF=90°。
在△ABE和△AFE中，∠BAE=∠FAE，AE=AE，∠AEB=∠AEF，
∴△ABE≌△AFE（ASA），∴AB=AF=3，BE=EF。
∵AC=5，∴FC=AC-AF=5-3=2。
∵D是BC中点，E是BF中点（BE=EF），
∴DE是△BFC的中位线，∴DE=1/2FC=1/2×2=1。
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠FAE。
∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠AEF=90°。
在△ABE和△AFE中，∠BAE=∠FAE，AE=AE，∠AEB=∠AEF，
∴△ABE≌△AFE（ASA），∴AB=AF=3，BE=EF。
∵AC=5，∴FC=AC-AF=5-3=2。
∵D是BC中点，E是BF中点（BE=EF），
∴DE是△BFC的中位线，∴DE=1/2FC=1/2×2=1。
4. 如图，在△ABC 中，AB = BC = 10，AC = 12，D，E 分别是边 AB，BC 上的动点，连接 DE。若 F，M 分别是 AD，DE 的中点，则 FM 长的最小值为。
答案
24/5
解析
连接AE，∵F、M分别是AD、DE的中点，∴FM是△ADE的中位线，∴FM=1/2AE。要使FM最小，需AE最小。当AE⊥BC时，AE最小。在等腰△ABC中，AB=BC=10，AC=12，AC边上的高h=√(10²-6²)=8，面积S=1/2×12×8=48。以BC为底，AE为高时，S=1/2×10×AE=48，解得AE=48/5。∴FM=1/2×48/5=24/5。
5. 如图，等边三角形 ABC 的边长是 4，D，E 分别为 AB，AC 的中点，延长 BC 至点 F，使 CF = $\frac{1}{2}$BC，连接 CD 和 EF。
(1) 求证：DE = CF；
(2) 求四边形 DEFC 的面积。
(1) 求证：DE = CF；
(2) 求四边形 DEFC 的面积。
答案
(1) 见证明过程；(2) $2\sqrt{3}$
解析
(1) 证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理，DE=$\frac{1}{2}$BC。∵CF=$\frac{1}{2}$BC，∴DE=CF。
(2) 解：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE//BC。又∵DE=CF，∴四边形DEFC是平行四边形。过E作EG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴∠ACB=60°，EC=$\frac{1}{2}$AC=2。在Rt△EGC中，EG=EC·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。∴四边形DEFC的面积=CF·EG=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$。
(2) 解：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE//BC。又∵DE=CF，∴四边形DEFC是平行四边形。过E作EG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴∠ACB=60°，EC=$\frac{1}{2}$AC=2。在Rt△EGC中，EG=EC·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。∴四边形DEFC的面积=CF·EG=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$。
6. 提升题 如图，在▱ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，延长 CD 到点 E，使 DE = CD，连接 AE。
(1) 求证：四边形 ABDE 是平行四边形；
(2) 连接 BE，交 AD 于点 F，连接 OF，求证：CE = 4OF。
(1) 求证：四边形 ABDE 是平行四边形；
(2) 连接 BE，交 AD 于点 F，连接 OF，求证：CE = 4OF。
答案
(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD。
∵DE=CD，∴AB=DE。
∵E在CD延长线上，∴AB//DE。
∴四边形ABDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) ∵四边形ABDE是平行四边形，∴BE与AD互相平分，∴F是AD中点。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC中点。
在△ACD中，O、F分别为AC、AD中点，∴OF是△ACD的中位线。
∴OF=1/2 CD。
∵DE=CD，∴CE=CD+DE=2CD，即CD=1/2 CE。
∴OF=1/2×(1/2 CE)=1/4 CE，∴CE=4OF。
∵DE=CD，∴AB=DE。
∵E在CD延长线上，∴AB//DE。
∴四边形ABDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) ∵四边形ABDE是平行四边形，∴BE与AD互相平分，∴F是AD中点。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC中点。
在△ACD中，O、F分别为AC、AD中点，∴OF是△ACD的中位线。
∴OF=1/2 CD。
∵DE=CD，∴CE=CD+DE=2CD，即CD=1/2 CE。
∴OF=1/2×(1/2 CE)=1/4 CE，∴CE=4OF。
