7. 将四块直角三角形按图示方式围成面积为 10 的□ABCD，其中△ABF ≌ △CDH，其内部四个顶点构成正方形 EFGH. 若∠ABF = 45°，则 CD 的长为.

√10

设等腰直角△ABF的直角边AF=BF=a，
因为∠ABF=45°且△ABF是直角三角形，所以△ABF为等腰直角三角形，由勾股定理得AB=√(a²+a²)=√2 a。
结合正方形EFGH及全等三角形的性质，可得BC=BF+FC=a+a=2a。
根据平行四边形面积公式，□ABCD的面积=BC×AF=2a×a=2a²=10，解得a²=5。
代入得AB=√(2a²)=√10，
又因为平行四边形对边相等，CD=AB，所以CD=√10。

8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，过点 C 的直线 MN // AB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DE ⊥ BC，交直线 MN 于点 E，垂足为 F，连接 CD，BE.
(1) 求证 CE = AD.

(2) 当 D 在 AB 的中点时，判断四边形 BECD 的形状，并说明理由.
(3) 若 D 为 AB 的中点，则当∠A = 时，四边形 BECD 是正方形.

(1) 证明：
∵ ∠ACB = 90°，DE ⊥ BC，
∴ AC // DE。
又∵ MN // AB，即 CE // AD，
∴ 四边形ADEC是平行四边形，
∴ CE = AD。
(2) 解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵ D为AB的中点，
∴ AD = BD。
由(1)知CE = AD，
∴ CE = BD。
又∵ CE // BD，
∴ 四边形BECD是平行四边形。
∵ DE ⊥ BC，
∴ 平行四边形BECD是菱形。
(3) 解：45°
理由：∵ ∠A = 45°，∠ACB = 90°，
∴ △ABC是等腰直角三角形，AC = BC。
∵ D是AB中点，
∴ CD ⊥ AB，∠CDB = 90°。
又∵ 四边形BECD是菱形，
∴ 菱形BECD是正方形。
故答案为：45°。

9. 如图，已知四边形 ABCD 和四边形 CEFG 均是正方形，点 G 在 CD 上，点 K 在 BC 上，延长 CD 到点 H，使 DH = BK = CE，连接 AK，KF，HF，AH.
(1) 求证 AK = AH.
(2) 求证四边形 AKFH 是正方形.
(3) 若四边形 AKFH 的面积为 10，CE = 1，求点 A，E 之间的距离.

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，∠B=∠ADH=90°，
在△ABK和△ADH中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\∠B=∠ADH \\BK=DH\end{array} $
∴ △ABK≌△ADH(SAS)，
∴ AK=AH.
(2) 证明：
由(1)知△ABK≌△ADH，
∴ AK=AH，∠BAK=∠DAH，
∵ ∠BAK+∠DAK=∠BAD=90°，
∴ ∠DAH+∠DAK=90°，即∠KAH=90°.
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，
∴ AB=BC=AD，CE=EF=FG，∠B=∠E=∠HGF=90°，
∵ DH=BK=CE，
∴ DH=FG，BK=EF，KE=BC=AB，
在△ABK和△KEF中，
$\{\begin{array}{l}AB=KE \\∠B=∠E \\BK=EF\end{array} $
∴ △ABK≌△KEF(SAS)，
∴ AK=KF，
同理可证△ADH≌△HGF(SAS)，得AH=HF，
又∵ AK=AH，
∴ AK=KF=FH=HA，
∴ 四边形AKFH是菱形，
又∵ ∠KAH=90°，
∴ 四边形AKFH是正方形.
(3) 解：
∵ 正方形AKFH的面积为10，
∴ AK²=10，
在Rt△ABK中，由勾股定理得：
AB² + BK²=AK²，
∵ BK=CE=1，
∴ AB² + 1²=10，
解得AB=3，AB＞0，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=AB=3，
∵ CE=1，
∴ BE=BC+CE=3+1=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE=√(AB² + BE²)=√(3²+4²)=5.