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1. (★)如图，每个小方格的面积均为 1，则图中阴影部分的面积为。
]
]答案
10
解析
观察图形，阴影部分为四边形，其外部是一个边长为4的大正方形（每个小方格边长为1，共4个小方格），面积为$4×4=16$。大正方形四个角各有一个直角三角形，每个三角形的直角边分别为1和3，面积为$\frac{1×3}{2}=1.5$，四个三角形总面积为$4×1.5=6$。阴影部分面积=大正方形面积 - 四个三角形面积，即$16 - 6=10$。
2. (★)如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $。
(1) $ ∠ A + ∠ B $ 的度数为；
(2) $ BC^{2} + AC^{2} = $，即如果直角三角形的两条直角边长分别为 $ a $，$ b $，斜边长为 $ c $，那么，它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为。
(1) $ ∠ A + ∠ B $ 的度数为；
(2) $ BC^{2} + AC^{2} = $，即如果直角三角形的两条直角边长分别为 $ a $，$ b $，斜边长为 $ c $，那么，它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为。
答案
(1) 90°
(2) AB²；a²+b²=c²；勾股定理
(2) AB²；a²+b²=c²；勾股定理
解析
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°。
(2) 根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。在Rt△ABC中，BC和AC是直角边，AB是斜边，所以BC²+AC²=AB²。若直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a²+b²=c²，我国把它称为勾股定理。
(2) 根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。在Rt△ABC中，BC和AC是直角边，AB是斜边，所以BC²+AC²=AB²。若直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a²+b²=c²，我国把它称为勾股定理。
3. (★)已知一个直角三角形的两条直角边长分别是 3 和 4，则它的斜边长是。
答案
5
解析
根据勾股定理，直角三角形的斜边长度$c$满足$c^2 = a^2 + b^2$，其中$a$和$b$是两条直角边的长度。将题目中的数值代入，得$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，因此$c = 5$。
4. (★)如图，数字代表所在正方形的面积，则 $ A $ 所代表的正方形的面积为【 】
A.25
B.49
C.81
D.100
A.25
B.49
C.81
D.100
答案
D
解析
由图可知，面积为36和64的正方形的边长分别为6和8，且这两条边构成直角三角形的两条直角边。根据勾股定理，斜边的平方为$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，所以A所代表的正方形的面积为100。
5. (★)勾股定理适用的条件是【 】
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
答案
A
解析
勾股定理表述的是在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，因此勾股定理只适用于直角三角形。
6. (★)如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ B = 90^{\circ} $，以下式子成立的是【 】
A.$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $
B.$ a^{2} + c^{2} = b^{2} $
C.$ b^{2} + c^{2} = a^{2} $
D.$ (a + c)^{2} = b^{2} $
]
A.$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $
B.$ a^{2} + c^{2} = b^{2} $
C.$ b^{2} + c^{2} = a^{2} $
D.$ (a + c)^{2} = b^{2} $
]答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠B=90°，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。其中直角边为BC=a，AB=c，斜边为AC=b，所以a² + c² = b²。
7. (★)在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，若 $ AC = 3 $，$ AB = 4 $，则 $ BC $ 的长是【 】
A.5
B.$ \sqrt{7} $
C.7
D.2
A.5
B.$ \sqrt{7} $
C.7
D.2
答案
B
解析
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，根据勾股定理$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，已知$AC=3$，$AB=4$，则$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$。
8. (★★)如图，5 个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 $ A $，$ C $，$ D $ 的面积依次为 4，5，20，则正方形 $ B $ 的面积为【 】
A.8
B.9
C.10
D.11
A.8
B.9
C.10
D.11
答案
D
解析
设正方形E的面积为S。由勾股定理知，以直角三角形斜边为边的正方形面积等于两直角边为边的正方形面积之和。观察图形，存在两个直角三角形：其一，直角边对应正方形C和E，斜边对应正方形D，故$S_C + S_E = S_D$，即$5 + S_E = 20$，解得$S_E = 15$；其二，直角边对应正方形A和B，斜边对应正方形E，故$S_A + S_B = S_E$，即$4 + S_B = 15$，解得$S_B = 11$。
9. (★★)在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 的对边分别为 $ a $，$ b $，$ c $。
(1)若 $ a = 2 $，$ b = 4 $，求 $ c $ 的值；
(2)若 $ a : b = 3 : 4 $，$ c = 10 $，求 $ a $，$ b $ 的值；
(3)若 $ ∠ A = 30^{\circ} $，$ AB = 4 $，求 $ AC $ 的值。
(1)若 $ a = 2 $，$ b = 4 $，求 $ c $ 的值；
(2)若 $ a : b = 3 : 4 $，$ c = 10 $，求 $ a $，$ b $ 的值；
(3)若 $ ∠ A = 30^{\circ} $，$ AB = 4 $，求 $ AC $ 的值。
答案
（1）
根据勾股定理$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$，已知$a = 2$，$b = 4$，则$c=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
（2）
因为$a:b = 3:4$，设$a = 3x$，$b = 4x(x＞0)$。
由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，已知$c = 10$，则$(3x)^{2}+(4x)^{2}=10^{2}$，
即$9x^{2}+16x^{2}=100$，$25x^{2}=100$，$x^{2}=4$，解得$x = 2$或$x=-2$（舍去）。
所以$a = 3x = 6$，$b = 4x = 8$。
（3）
在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A = 30^{\circ}$，$AB = 4$。
因为$\cos∠ A=\frac{AC}{AB}$，所以$AC = AB×\cos30^{\circ}=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}×2÷2 = 2\sqrt{3}×1= 2\sqrt{3}$（或者根据$30^{\circ}$所对直角边等于斜边一半得$BC = 2$，再根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$）。
综上，答案依次为：（1）$2\sqrt{5}$；（2）$a = 6$，$b = 8$；（3）$2\sqrt{3}$。
根据勾股定理$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$，已知$a = 2$，$b = 4$，则$c=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
（2）
因为$a:b = 3:4$，设$a = 3x$，$b = 4x(x＞0)$。
由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，已知$c = 10$，则$(3x)^{2}+(4x)^{2}=10^{2}$，
即$9x^{2}+16x^{2}=100$，$25x^{2}=100$，$x^{2}=4$，解得$x = 2$或$x=-2$（舍去）。
所以$a = 3x = 6$，$b = 4x = 8$。
（3）
在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A = 30^{\circ}$，$AB = 4$。
因为$\cos∠ A=\frac{AC}{AB}$，所以$AC = AB×\cos30^{\circ}=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}×2÷2 = 2\sqrt{3}×1= 2\sqrt{3}$（或者根据$30^{\circ}$所对直角边等于斜边一半得$BC = 2$，再根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$）。
综上，答案依次为：（1）$2\sqrt{5}$；（2）$a = 6$，$b = 8$；（3）$2\sqrt{3}$。
