7. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是中线，$G$是$AD$上一点，$AG = 2GD$，$GF// AB$，$GE// AC$，$GF$、$GE$分别交$BC$于点$F$、$E$.
（1）设$△ GFE$的周长为$5.5$，求$△ ABC$的周长；
（2）设$BC = 6$，$△ ABC$的边$BC$上的高为$5$，求$△ GFE$的面积.

解：​(1)​
∵​GF//AB，​​GE//AC​
∴​∠B=∠GFE，​​∠C=∠GEF​
∴​△ABC∽△GFE​
∵​AG=2GD​
∴​AD=3GD​
∵​GF//AB​
∴$​\frac {AB}{GF}=\frac {AD}{GD}=3​$
∴​△ABC​与​△GFE​的相似比为​3​
∴​△ABC​的周长​=5.5×3=16.5​
$​(2)S_{△ABC}=\frac 12×6×5=15​$
​△ABC​与​△GFE​的面积比为​9：​​1​
∴$​S_{△GFE}=\frac {15}{9}=\frac {5}{3}​$

【解析】
(1) 因为$GF// AB$，$GE// AC$，所以$∠ B=∠ GFE$，$∠ C=∠ GEF$，故$△ ABC∽△ GFE$。
由$AG=2GD$，可得$AD=3GD$。
因为$GF// AB$，所以$\frac{AB}{GF}=\frac{AD}{GD}=3$，即$△ ABC$与$△ GFE$的相似比为3。
根据相似三角形周长比等于相似比，已知$△ GFE$的周长为5.5，所以$△ ABC$的周长为$5.5×3=16.5$。
(2) 先计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC×$高$=\frac{1}{2}×6×5=15$。
由(1)知$△ ABC$与$△ GFE$的相似比为3，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得面积比为$9:1$。
因此$△ GFE$的面积为$\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为$\boldsymbol{16.5}$；
(2) $△ GFE$的面积为$\boldsymbol{\frac{5}{3}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定与性质的综合应用，需熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方这两个关键结论，结合平行线的性质完成推理计算。

8. 如图，在$△ ABC$中，$D$是$AB$上的一点，$AB = 3AD$，$DE// BC$，$DE$交$AC$于点$E$.设$△ ABC$的面积为$6$，求$△ BED$的面积.

解：
∵​​DE//BC​​
∴​​∠ADE=∠ABC​​
又​​∠A=∠A​​
∴​​△ADE∽△ABC​​
∵​​AB=3AD​​
∴​​△ADE​​与​​△ABC​​的相似比为$​​\frac 13​​$
∴面积比为$​​\frac 19​​$
∴$​​S_{△ADE}=\frac 69=\frac 23​​$
∵​​AB=3AD​​
∴​​BD=2AD​​
∴$​​S_{△BED}=2S_{△ADE}=\frac 43​​$

【解析】
∵DE//BC
∴∠ADE=∠ABC
又∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∵AB=3AD
∴△ADE与△ABC的相似比为$\frac{1}{3}$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得面积比为$\frac{1}{9}$
∵$S_{△ABC}=6$
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{9}×6=\frac{2}{3}$
∵AB=3AD
∴BD=2AD，△BED与△ADE等高
∴$S_{△BED}=2S_{△ADE}=2×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题主要考查相似三角形的判定与性质及三角形面积的计算，解题关键是先利用相似三角形的面积比与相似比的关系求出△ADE的面积，再结合线段比例求出△BED的面积。