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8. 如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$ 是边 $BC$ 上的点(与 $B$，$C$ 两点不重合)，过点 $D$ 作 $DE// AC$，$DF// AB$，分别交 $AB$，$AC$ 于 $E$，$F$ 两点，连接 $AD$. 下列条件能判定四边形 $AEDF$ 是菱形的是(
A.$AD⊥ BC$
B.$AD$ 为 $BC$ 边上的中线
C.$AD = BD$
D.$AD$ 平分 $∠ BAC$
D
)A.$AD⊥ BC$
B.$AD$ 为 $BC$ 边上的中线
C.$AD = BD$
D.$AD$ 平分 $∠ BAC$
答案
8. D
解析
【解析】
因为$DE// AC$，$DF// AB$，所以四边形$AEDF$是平行四边形。
若$AD$平分$∠ BAC$，则$∠ EAD=∠ FAD$。
因为$DF// AB$，所以$∠ EAD=∠ ADF$，那么$∠ FAD=∠ ADF$，所以$AF = DF$。
一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$AEDF$是菱形。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、角平分线的性质
【点评】
本题考查菱形的判定，需要先判定四边形是平行四边形，再根据条件判定为菱形。
【难度系数】
0.3
因为$DE// AC$，$DF// AB$，所以四边形$AEDF$是平行四边形。
若$AD$平分$∠ BAC$，则$∠ EAD=∠ FAD$。
因为$DF// AB$，所以$∠ EAD=∠ ADF$，那么$∠ FAD=∠ ADF$，所以$AF = DF$。
一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$AEDF$是菱形。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、角平分线的性质
【点评】
本题考查菱形的判定，需要先判定四边形是平行四边形，再根据条件判定为菱形。
【难度系数】
0.3
9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形 $ABCD$，且对角线 $AC = 8$，$BD = 6$，则纸条的宽度是(
A.$9.6$
B.$5$
C.$4.8$
D.$2.4$
C
)A.$9.6$
B.$5$
C.$4.8$
D.$2.4$
答案
9. C
解析
【解析】
过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$。
因为两张纸条等宽，所以$AE = DF$。
又因为$AB// CD$，$AD// BC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
根据平行四边形面积公式$S = BC· AE = AB· DF$，可得$AB = BC$，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
菱形面积$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×8×6 = 24$。
设纸条宽度为$h$（即$AE = h$），因为菱形$ABCD$边长相等，设$AB = BC = x$，根据勾股定理可得$x=\sqrt{(\frac{AC}{2})^2+(\frac{BD}{2})^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
再根据菱形面积$S = BC· h$，即$24 = 5h$，解得$h = 4.8$。
【答案】
$C$
【知识点】
菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积
【点评】
本题通过证明四边形是菱形，利用菱形面积的两种计算方法求解纸条宽度，综合性较强。
【难度系数】
$0.4$
过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$。
因为两张纸条等宽，所以$AE = DF$。
又因为$AB// CD$，$AD// BC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
根据平行四边形面积公式$S = BC· AE = AB· DF$，可得$AB = BC$，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
菱形面积$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×8×6 = 24$。
设纸条宽度为$h$（即$AE = h$），因为菱形$ABCD$边长相等，设$AB = BC = x$，根据勾股定理可得$x=\sqrt{(\frac{AC}{2})^2+(\frac{BD}{2})^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
再根据菱形面积$S = BC· h$，即$24 = 5h$，解得$h = 4.8$。
【答案】
$C$
【知识点】
菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积
【点评】
本题通过证明四边形是菱形，利用菱形面积的两种计算方法求解纸条宽度，综合性较强。
【难度系数】
$0.4$
10. 如图 1，$AE// BF$，$AC$ 平分 $∠ BAD$，且交 $BF$ 于点 $C$，$BD$ 平分 $∠ ABC$，且交 $AE$ 于点 $D$，连接 $CD$.
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.
(2) 如图 2，若 $DM⊥ BF$ 交 $BF$ 于点 $M$，且 $AC = 6$，$OM = 4$，求 $AB$ 的长.
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.
(2) 如图 2，若 $DM⊥ BF$ 交 $BF$ 于点 $M$，且 $AC = 6$，$OM = 4$，求 $AB$ 的长.
答案
10.（1）证明：
∵AE//BF，
∴∠BCA=∠CAD.
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠BCA=∠BAC，
∴△BAC 是等腰三角形，
∴AB=CB.
∵∠CBD=∠ABD=∠BDA，
∴△ABD 也是等腰三角形，
∴AB=AD，
∴DA=CB.
∵BC//DA，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
（2）解：
∵DM⊥BC，
∴∠DMB=90°.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BO=DO，
∴BD=2OM=8，
∴BO=$\frac{1}{2}$BD=4.
∵AC=6，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴AB=$\sqrt{AO^{2}+OB^{2}}$=5.
∵AE//BF，
∴∠BCA=∠CAD.
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠BCA=∠BAC，
∴△BAC 是等腰三角形，
∴AB=CB.
∵∠CBD=∠ABD=∠BDA，
∴△ABD 也是等腰三角形，
∴AB=AD，
∴DA=CB.
∵BC//DA，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
（2）解：
∵DM⊥BC，
∴∠DMB=90°.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BO=DO，
∴BD=2OM=8，
∴BO=$\frac{1}{2}$BD=4.
∵AC=6，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴AB=$\sqrt{AO^{2}+OB^{2}}$=5.
解析
【解析】
（1）证明：
∵AE//BF，
∴∠BCA = ∠CAD。
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC = ∠CAD，
∴∠BCA = ∠BAC，
∴△BAC 是等腰三角形，
∴AB = CB。
∵∠CBD = ∠ABD = ∠BDA，
∴△ABD 也是等腰三角形，
∴AB = AD，
∴DA = CB。
∵BC//DA，
∴四边形 ABCD 是平行四边形。
∵AC⊥BD，
∴四边形 ABCD 是菱形。
（2）解：
∵DM⊥BC，
∴∠DMB = 90°。
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BO = DO，
∴BD = 2OM = 8，
∴BO = $\frac{1}{2}$BD = 4。
∵AC = 6，
∴AO = $\frac{1}{2}$AC = 3，
∴AB = $\sqrt{AO^{2} + OB^{2}}$ = 5。
【答案】
（1）证明过程如解析；（2）AB 的长为 5。
【知识点】
菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题考查菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点。第一问通过角平分线和平行线的性质推出边相等，进而证明平行四边形，再结合对角线垂直证明菱形；第二问利用菱形的性质和勾股定理求解边长。
【难度系数】
0.4
（1）证明：
∵AE//BF，
∴∠BCA = ∠CAD。
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC = ∠CAD，
∴∠BCA = ∠BAC，
∴△BAC 是等腰三角形，
∴AB = CB。
∵∠CBD = ∠ABD = ∠BDA，
∴△ABD 也是等腰三角形，
∴AB = AD，
∴DA = CB。
∵BC//DA，
∴四边形 ABCD 是平行四边形。
∵AC⊥BD，
∴四边形 ABCD 是菱形。
（2）解：
∵DM⊥BC，
∴∠DMB = 90°。
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BO = DO，
∴BD = 2OM = 8，
∴BO = $\frac{1}{2}$BD = 4。
∵AC = 6，
∴AO = $\frac{1}{2}$AC = 3，
∴AB = $\sqrt{AO^{2} + OB^{2}}$ = 5。
【答案】
（1）证明过程如解析；（2）AB 的长为 5。
【知识点】
菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题考查菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点。第一问通过角平分线和平行线的性质推出边相等，进而证明平行四边形，再结合对角线垂直证明菱形；第二问利用菱形的性质和勾股定理求解边长。
【难度系数】
0.4
