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(1) $$\dfrac{16}{(\quad\quad)}=\dfrac{4}{5}=20÷(\quad\quad)=\dfrac{(\quad\quad)}{35}$$。
答案
1. 设第一个空为 $x$，即 $\frac{16}{x} = \frac{4}{5}$，
交叉相乘得 $4x = 80$，
解得 $x = 20$。
2. 设第二个空为 $y$，即 $\frac{4}{5} = 20 ÷ y$，
交叉相乘（或转化为乘法）得 $4y = 100$，
解得 $y = 25$。
3. 设第三个空为 $z$，即 $\frac{4}{5} = \frac{z}{35}$，
交叉相乘得 $5z = 140$，
解得 $z = 28$。
所以，答案为：
(1) $\frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 20 ÷ 25 = \frac{28}{35}$。
交叉相乘得 $4x = 80$，
解得 $x = 20$。
2. 设第二个空为 $y$，即 $\frac{4}{5} = 20 ÷ y$，
交叉相乘（或转化为乘法）得 $4y = 100$，
解得 $y = 25$。
3. 设第三个空为 $z$，即 $\frac{4}{5} = \frac{z}{35}$，
交叉相乘得 $5z = 140$，
解得 $z = 28$。
所以，答案为：
(1) $\frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 20 ÷ 25 = \frac{28}{35}$。
(2) $$\dfrac{3}{4}=(\quad\quad)÷12=\dfrac{12}{(\quad\quad)}=\dfrac{27}{(\quad\quad)}$$。
答案
9；16；36
解析
$\dfrac{3}{4}=9÷12=\dfrac{12}{16}=\dfrac{27}{36}$
解析：
1. 对于$\dfrac{3}{4}=(\quad)÷12$，分母从4变为12，扩大了$12÷4 = 3$倍，根据分数的基本性质，分子也应扩大3倍，$3×3 = 9$，所以第一个空填9。
2. 对于$\dfrac{3}{4}=\dfrac{12}{(\quad)}$，分子从3变为12，扩大了$12÷3 = 4$倍，分母也应扩大4倍，$4×4 = 16$，所以第二个空填16。
3. 对于$\dfrac{3}{4}=\dfrac{27}{(\quad)}$，分子从3变为27，扩大了$27÷3 = 9$倍，分母也应扩大9倍，$4×9 = 36$，所以第三个空填36。
解析：
1. 对于$\dfrac{3}{4}=(\quad)÷12$，分母从4变为12，扩大了$12÷4 = 3$倍，根据分数的基本性质，分子也应扩大3倍，$3×3 = 9$，所以第一个空填9。
2. 对于$\dfrac{3}{4}=\dfrac{12}{(\quad)}$，分子从3变为12，扩大了$12÷3 = 4$倍，分母也应扩大4倍，$4×4 = 16$，所以第二个空填16。
3. 对于$\dfrac{3}{4}=\dfrac{27}{(\quad)}$，分子从3变为27，扩大了$27÷3 = 9$倍，分母也应扩大9倍，$4×9 = 36$，所以第三个空填36。
(3) $$\dfrac{5}{12}$$和$$\dfrac{7}{18}$$中分子的最大公因数是()，分母的最小公倍数是()。
答案
1；36
解析
分子的最大公因数
分子分别为5和7。
5的因数：1，5
7的因数：1，7
公因数：1
最大公因数：1
分母的最小公倍数
分母分别为12和18。
12的倍数：12，24，36，48，…
18的倍数：18，36，54，…
最小公倍数：36
分子分别为5和7。
5的因数：1，5
7的因数：1，7
公因数：1
最大公因数：1
分母的最小公倍数
分母分别为12和18。
12的倍数：12，24，36，48，…
18的倍数：18，36，54，…
最小公倍数：36
(4) 如图所示，长纸条的长是短纸条的$$\dfrac{(\quad\quad)}{(\quad\quad)}$$，短纸条的长是长纸条的$$\dfrac{(\quad\quad)}{(\quad\quad)}$$。若短纸条长$$8\mathrm{cm}$$，则长纸条长( )$$\mathrm{cm}$$。
答案
长纸条的长是短纸条的$\dfrac{5}{2}$，短纸条的长是长纸条的$\dfrac{2}{5}$。若短纸条长$8\mathrm{cm}$，则长纸条长$20\mathrm{cm}$。
2. 判断正误。
(1) 分子、分母都是奇数的分数一定是最简分数。()
(2) 一个分数的分母越小，它的分数单位就越大。()
(3) 最简分数的分子和分母的最大公因数一定是$$1$$。()
(4) 通分时，每个分数的分数单位都变小了。()
(1) 分子、分母都是奇数的分数一定是最简分数。()
(2) 一个分数的分母越小，它的分数单位就越大。()
(3) 最简分数的分子和分母的最大公因数一定是$$1$$。()
(4) 通分时，每个分数的分数单位都变小了。()
答案
×√√×
解析
(1) 例如$\frac{9}{15}$，分子、分母都是奇数，但它们有公因数3，不是最简分数，所以该说法错误。
(2) 分数单位是把单位“1”平均分成若干份取其中的一份的数，分母越小，分的份数越少，每份就越大，所以分数单位越大，该说法正确。
(3) 最简分数是分子、分母只有公因数1的分数，所以最大公因数一定是1，该说法正确。
(4) 通分时，若原分数的分母是新分母的因数，分数单位可能不变或变大，例如$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{4}$通分，$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$，分数单位从$\frac{1}{2}$变为$\frac{1}{4}$变小了，但$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{6}$通分，$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$，分数单位从$\frac{1}{3}$变为$\frac{1}{6}$变小了，不过也有特殊情况，如$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{6}$通分，$\frac{4}{6}$化简后是$\frac{2}{3}$，通分后分数单位可能不变，所以“每个分数的分数单位都变小了”说法错误。
(2) 分数单位是把单位“1”平均分成若干份取其中的一份的数，分母越小，分的份数越少，每份就越大，所以分数单位越大，该说法正确。
(3) 最简分数是分子、分母只有公因数1的分数，所以最大公因数一定是1，该说法正确。
(4) 通分时，若原分数的分母是新分母的因数，分数单位可能不变或变大，例如$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{4}$通分，$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$，分数单位从$\frac{1}{2}$变为$\frac{1}{4}$变小了，但$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{6}$通分，$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$，分数单位从$\frac{1}{3}$变为$\frac{1}{6}$变小了，不过也有特殊情况，如$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{6}$通分，$\frac{4}{6}$化简后是$\frac{2}{3}$，通分后分数单位可能不变，所以“每个分数的分数单位都变小了”说法错误。
(1) 将一根绳子连续对折3次，每段是全长的()。
$A. \dfrac{1}{3}B. \dfrac{1}{4}$
$C. \dfrac{1}{8}$
$A. \dfrac{1}{3}B. \dfrac{1}{4}$
$C. \dfrac{1}{8}$
答案
答：C
解题步骤：
对折1次，绳子被分成 $2^1 = 2$（段），
对折2次，绳子被分成 $2^2 = 4$（段），
对折3次，绳子被分成 $2^3 = 8$（段），
每段绳子的长度是全长的 $\dfrac{1}{8}$。
故答案为：C. $\dfrac{1}{8}$。
解题步骤：
对折1次，绳子被分成 $2^1 = 2$（段），
对折2次，绳子被分成 $2^2 = 4$（段），
对折3次，绳子被分成 $2^3 = 8$（段），
每段绳子的长度是全长的 $\dfrac{1}{8}$。
故答案为：C. $\dfrac{1}{8}$。
(2) 在$\dfrac{5}{12}$，$\dfrac{13}{65}$，$\dfrac{9}{14}$，$\dfrac{24}{25}$，$\dfrac{15}{32}$中，能化成有限小数的有()个。
A.1
B.2
C.3
A.1
B.2
C.3
答案
C
解析
一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其它质因数，可以把这个分数化成有限小数，否则则不能。
$\dfrac{5}{12}$：分母12的质因数有2和3，因为含有质因数3，所以不能化成有限小数。
$\dfrac{13}{65}$：约分后为$\dfrac{1}{5}$，分母5只含有质因数5，所以能化成有限小数。
$\dfrac{9}{14}$：分母14的质因数有2和7，因为含有质因数7，所以不能化成有限小数。
$\dfrac{24}{25}$：分母25的质因数只有5，所以能化成有限小数。
$\dfrac{15}{32}$：分母32的质因数只有2，所以能化成有限小数。
综上，能化成有限小数的分数有$\dfrac{13}{65}$，$\dfrac{24}{25}$，$\dfrac{15}{32}$，共3个。
$\dfrac{5}{12}$：分母12的质因数有2和3，因为含有质因数3，所以不能化成有限小数。
$\dfrac{13}{65}$：约分后为$\dfrac{1}{5}$，分母5只含有质因数5，所以能化成有限小数。
$\dfrac{9}{14}$：分母14的质因数有2和7，因为含有质因数7，所以不能化成有限小数。
$\dfrac{24}{25}$：分母25的质因数只有5，所以能化成有限小数。
$\dfrac{15}{32}$：分母32的质因数只有2，所以能化成有限小数。
综上，能化成有限小数的分数有$\dfrac{13}{65}$，$\dfrac{24}{25}$，$\dfrac{15}{32}$，共3个。
(3) 一根绳子，剪去它的$$\dfrac{1}{3}$$，还剩下$$\dfrac{1}{3}\mathrm{m}$$，则()更长。
A.剪去的部分
B.剩下的部分
C.无法确定哪部分
A.剪去的部分
B.剩下的部分
C.无法确定哪部分
答案
B
解析
设这根绳子总长为$x$米，剪去它的$\dfrac{1}{3}$，则剩下$x-\dfrac{1}{3}x=\dfrac{2}{3}x$，又已知剩下$\dfrac{1}{3}m$，所以$\dfrac{2}{3}x = \dfrac{1}{3}$，解得$x=\dfrac{1}{2}$米。剪去的部分长度为$\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$米，因为$\dfrac{1}{6}＜\dfrac{1}{3}$（或$0.167＜0.333$等（合理对比皆可）），所以剩下的部分更长。
(4) 比$$\dfrac{2}{5}$$大且比$$\dfrac{4}{5}$$小的最简真分数有()个。
A.1
B.3
C.无数
A.1
B.3
C.无数
答案
C
解析
首先明确最简真分数的定义，即分子分母互质且分子小于分母的分数。
将$\frac{2}{5}$和$\frac{4}{5}$的分子分母同时扩大相同的倍数，
如扩大2倍，得到$\frac{4}{10}$和$\frac{8}{10}$，
这之间的最简真分数有$\frac{7}{10}$（$\frac{3}{6}$约分后不是最简，$\frac{5}{10}$不是最简），
若把分子分母扩大更多倍，
如3倍，得到$\frac{6}{15}$和$\frac{12}{15}$，
这之间有$\frac{7}{15}$、$\frac{8}{15}$、$\frac{11}{15}$等最简真分数，
由于倍数可以无限扩大，
所以比$\frac{2}{5}$大且比$\frac{4}{5}$小的最简真分数有无数个。
将$\frac{2}{5}$和$\frac{4}{5}$的分子分母同时扩大相同的倍数，
如扩大2倍，得到$\frac{4}{10}$和$\frac{8}{10}$，
这之间的最简真分数有$\frac{7}{10}$（$\frac{3}{6}$约分后不是最简，$\frac{5}{10}$不是最简），
若把分子分母扩大更多倍，
如3倍，得到$\frac{6}{15}$和$\frac{12}{15}$，
这之间有$\frac{7}{15}$、$\frac{8}{15}$、$\frac{11}{15}$等最简真分数，
由于倍数可以无限扩大，
所以比$\frac{2}{5}$大且比$\frac{4}{5}$小的最简真分数有无数个。
4. 东东每$$4$$天去一次图书馆，小丽每$$6$$天去一次图书馆。上个星期二他们在图书馆相遇了，他们下次在图书馆相遇时是星期几？
答案
星期日
解析
4和6的最小公倍数是12，12÷7=1(周)……5(天)，星期二+5天=星期日
5. 提升题 一个不能同时被$$4$$，$$8$$，$$12$$整除的数，如果加上$$10$$就能同时被$$4$$，$$8$$，$$12$$整除，那么这个数最小是多少？
答案
14
解析
先求4、8、12的最小公倍数，分解质因数：4=2²，8=2³，12=2²×3，最小公倍数为2³×3=24。设这个数为x，则x+10=24k（k为正整数），x=24k-10。当k=1时，x=24×1-10=14。14不能被4、8、12整除，符合条件。
