9. 若一个多边形的每个内角都是$135^{\circ}$，则这个多边形的边数为.

8

由多边形内角和公式可知，n边形的内角和为$(n - 2) × 180^{\circ}$。
已知该多边形每个内角都是$135^{\circ}$，设这个多边形的边数为$n$，则其内角和也可表示为$135^{\circ}n$。
那么可得方程$(n - 2) × 180 = 135n$，
展开式子得$180n - 360 = 135n$，
移项可得$180n - 135n = 360$，
即$45n = 360$，
解得$n = 8$。

10. 如图，将直线$OA$向上平移$2$个单位长度，可得到一个新的一次函数的图象，则这个新的一次函数的解析式为.

$y = - 2x + 2$（题目未给选项，直接填解析式即可。）

由图可知，直线$OA$经过点$A(-2,4)$和原点$(0,0)$，
设直线$OA$的解析式为$y=kx$，
将点$A(-2,4)$代入$y=kx$，得到$4=-2k$，
解得$k=-2$，
因此，直线$OA$的解析式为$y=-2x$，
将直线$OA$向上平移$2$个单位长度，新的解析式为$y=-2x+2$。

11. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$D$，$E$分别为$CA$，$CB$的中点，$AF$平分$∠ BAC$，交$DE$于点$F$. 若$AC = 6$，$BC = 8$，则$EF$的长为.

2

在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
$D$，$E$分别为$CA$，$CB$的中点，故$DE$是$△ABC$的中位线，所以$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB=5$。
$AF$平分$∠BAC$，则$∠FAB=∠FAD$。
因为$DE// AB$，所以$∠AFD=∠FAB$（内错角相等），故$∠AFD=∠FAD$，因此$AD=DF$。
$D$是$CA$中点，$AC=6$，所以$AD=\frac{1}{2}AC=3$，则$DF=3$。
所以$EF=DE-DF=5-3=2$。

12. 提升题 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A = 30^{\circ}$，$AB = 8$，点$D$在边$AC$上，$CD = \sqrt{3}$，点$P$在$△ ABC$的边上. 当$AP = 2PD$时，以$PD$为边的正方形的面积为.

3或9或15

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，∴BC=4，AC=4√3。CD=√3，∴AD=AC-CD=3√3。分三种情况讨论：
1. P在AC边上：设PD=x，则AP=2x。∵P在A、D之间，∴AD=AP+PD=3x=3√3，x=√3。PD=√3，面积= (√3)²=3。
2. P在BC边上：建立坐标系，C(0,0)，A(4√3,0)，B(0,4)，D(√3,0)。设P(0,y)，AP=√[(4√3)²+y²]，PD=√[(√3)²+y²]。由AP=2PD得√(48+y²)=2√(3+y²)，解得y=2√3。PD=√(3+12)=√15，面积= (√15)²=15。
3. P在AB边上：AB方程为y=-√3/3 x+4。设P(x,y)，由AP=2PD得√[(x-4√3)²+y²]=2√[(x-√3)²+y²]，化简得x²+y²=12。联立AB方程解得x=√3，y=3。PD=√[(√3-√3)²+(3-0)²]=3，面积=3²=9。
综上，面积为3或9或15。

三、解答题
13. 计算：
（1）$(\sqrt{8} - \sqrt{\dfrac{3}{2}}) × \sqrt{2}$；
（2）$(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3})^{2}$.

（1）$(\sqrt{8} - \sqrt{\dfrac{3}{2}}) × \sqrt{2}$
$=\sqrt{8}×\sqrt{2} - \sqrt{\dfrac{3}{2}}×\sqrt{2}$
$=\sqrt{16} - \sqrt{3}$
$=4 - \sqrt{3}$
（2）$(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3})^{2}$
$=1^2 - (\sqrt{3})^2 + (1^2 + 2×1×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2)$
$=1 - 3 + (1 + 2\sqrt{3} + 3)$
$=-2 + 4 + 2\sqrt{3}$
$=2 + 2\sqrt{3}$

14. 已知：如图，$O$为$□ ABCD$对角线$AC$的中点，过点$O$的直线$EF$与$AD$，$BC$分别相交于点$E$，$F$.
求证：$△ AOE ≌ △ COF$.

∵ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
∴ $AD // BC$，
∴ $∠ EAO = ∠ FCO$，
∵ $O$ 为 $AC$ 的中点，
∴ $OA = OC$，
在 $△ AOE$ 和 $△ COF$ 中，
$\begin{cases}∠ EAO = ∠ FCO \\OA = OC \\∠ AOE = ∠ COF \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
∴ $△ AOE ≌ △ COF \quad (\mathrm{ASA})$。

15. 如图，在$8 × 4$的正方形网格中，$A$，$B$均在网格线的格点上. 请仅用无刻度的直尺按以下要求作图.（保留作图痕迹）
（1）在图①中，作出一个以$AB$为斜边的直角三角形；
（2）在图②中，作出一个以$AB$为直角边且面积为$\dfrac{25}{4}$的直角三角形.

（1）在图①中，过点A作水平向右的网格线，过点B作竖直向上的网格线，两线交于点C，连接AC、BC，△ABC即为所求直角三角形。
（2）在图②中，找到格点D(5,2)、E(6,4)、F(5,4)、G(6,2)，连接DE与FG，两线交于点C，连接AC、BC，△ABC即为所求直角三角形。

16. 如图，在$△ ABC$中，点$D$在$AB$上，连接$CD$，$AD = 4$，$CD = 2$，$BD = 1$，$BC = \sqrt{5}$.
（1）求证$CD ⊥ AB$；
（2）求$AC$的长.

(1)
在$△ BCD$中，$CD=2$，$BD = 1$，$BC=\sqrt{5}$，
因为$CD^{2}+BD^{2}=2^{2} + 1^{2}=5$，$BC^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5$，
所以$CD^{2}+BD^{2}=BC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，$∠ CDB = 90^{\circ}$，所以$CD⊥ AB$。
(2)
因为$CD⊥ AB$，在$Rt△ ACD$中，$AD = 4$，$CD = 2$，
根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，
则$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
综上，答案为：（1）通过证明$CD^{2}+BD^{2}=BC^{2}$，由勾股定理的逆定理证得$CD⊥ AB$；（2）$AC$的长为$2\sqrt{5}$。