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1. 填一填。
(1)一个圆柱形水桶的容积是 30 L,水桶的底面积是 $5dm^{2}$。如果装了 $\frac{3}{4}$ 桶水,那么水面的高度是(
(1)一个圆柱形水桶的容积是 30 L,水桶的底面积是 $5dm^{2}$。如果装了 $\frac{3}{4}$ 桶水,那么水面的高度是(
4.5
)dm。答案
1. (1)4.5 【提示】先求出水桶内部的高度,再求出水面的高度。
(2)把棱长为 5 cm 的正方体橡皮泥重新捏成一个高为 2.5 cm 的圆柱,这个圆柱的底面积是(
50
)$cm^{2}$。(不计损耗)答案
(2)50 【提示】正方体体积为$5×5×5=125$(立方厘米),正方体的体积等于圆柱的体积,圆柱的高为 2.5 厘米,因此底面积为$125÷2.5=50$(平方厘米)。
(3)一个圆柱形油桶,从里面量,它的底面直径是 40 厘米,高是 60 厘米。这个油桶(
不能
)装下 80 升油。(填“能”或“不能”)答案
(3)不能 【提示】40 厘米=4 分米,60 厘米=6 分米，$3.14×(4÷2)^{2}×6=75.36$(立方分米),75.36 立方分米=75.36 升，$80＞75.36$,所以这个油桶不能装下 80 升油。
2. 求右下图中物体的体积。(单位:cm)
答案
2. $3.14×(3÷2)^{2}×(4+6)÷2=35.325(cm^{3})$【提示】假设在上面再粘上一个同样大小的该物体,将得到一个底面直径为 3 cm、高为 10 cm 的圆柱,先求出圆柱的体积,再除以 2。
3. 奇奇在超市买了一瓶水,他将这瓶水倒入右边的圆柱形水杯中(忽略厚度),这瓶水能将这个水杯装满吗? 如果能,请说明理由;如果不能,那么还可以装多少水?
答案
3. 不能 理由：$3.14×(10÷2)^{2}×10=785(cm^{3})$$785cm^{3}=785mL$$785＞550$$785-550=235(mL)$【提示】先计算圆柱形水杯的容积,然后与瓶中水的体积进行比较,判断能否装满水杯,并计算还能装多少水。
4. 自来水管的内半径是 2 cm,管内水的流速约为每秒 20 cm。一名同学打开水龙头洗手,走时忘了关,5 分钟后被另一名同学发现才关上。请你算一算,大约浪费了多少升水?
答案
4. 5 分钟=300 秒$3.14×2^{2}×20×300=75360(cm^{3})$$75360cm^{3}=75.36L$【提示】根据题意,先计算出自来水管每秒流出的水量,再计算 5 分钟(300 秒)流出的水量。
5. 用一张长方形铁皮,正好能剪下两个圆和一个长方形(如图),制作成一个圆柱(连接处忽略不计),其中长方形的长是 62.8 厘米,这个圆柱的体积是多少立方厘米?
答案
5. $62.8÷3.14÷2=10(cm)$$10×2=20(cm)$$3.14×10^{2}×20=6280(cm^{3})$【提示】由图可知,长方形的长是 62.8 cm,圆柱的底面半径是$62.8÷3.14÷2=10(cm)$,由图可知,圆柱的高是底面圆的直径,因此该圆柱体的高是$10×2=20(cm)$,圆柱的体积是$3.14×10^{2}×20=6280(cm^{3})$。
6. 如图,一个长方体水池,从里面量长 30 分米、宽 10 分米、高 12 分米,池内存有 $\frac{3}{4}$ 池水。
(1)将一个高为 11 分米、体积为 330 立方分米的圆柱竖直放入池中,水面的高度变为多少分米?
(2)如果以同样的方式再放入一个同样的圆柱,那么水面高度又变成了多少分米?
(3)如果再以同样的方式放入一个同样的圆柱,那么水面高度又变成了多少分米?
(1)将一个高为 11 分米、体积为 330 立方分米的圆柱竖直放入池中,水面的高度变为多少分米?
(2)如果以同样的方式再放入一个同样的圆柱,那么水面高度又变成了多少分米?
(3)如果再以同样的方式放入一个同样的圆柱,那么水面高度又变成了多少分米?
答案
6. (1)假设水面未淹没圆柱。$12×\frac {3}{4}=9$(分米)$30×10×9=2700$(立方分米)$330÷11=30$(平方分米)$2700÷(30×10-30)=10$(分米)因为$10＜11$,所以水面未淹没圆柱,此时水面高度为 10 分米。
(2)假设水面未淹没圆柱。$2700÷(30×10-30×2)=11.25$(分米)因为$11.25＞11$,所以圆柱已被完全淹没。此时水面高度：$(2700+330×2)÷(30×10)=11.2$(分米)
(3)$330×3=990$(立方分米)$2700+990=3690$(立方分米)$30×10×12=3600$(立方分米)因为$3690＞3600$,水会溢出,所以水面高度为水池的高度 12 分米。【提示】(1)首先计算水池中原有的水量。水池底面长 30 分米、宽 10 分米、高 12 分米,存有$\frac {3}{4}$池水,所以原有水的高度为$12×\frac {3}{4}=9$(分米),水的体积为$30×10×9=2700$(立方分米)。圆柱的体积为 330 立方分米,高 11 分米,其底面积为$330÷11=30$(平方分米)。将圆柱竖直放入池中,假设水面未淹没圆柱,此时水的底面积变为水池底面积减去圆柱底面积,即$30×10-30=270$(平方分米)。根据体积公式,水面高度为$2700÷270=10$(分米),因为 10 分米小于圆柱的高 11 分米,所以水面未淹没圆柱,此时水面高度为 10 分米。(2)再放入一个同样的圆柱,此时两个圆柱的总底面积为$30×2=60$(平方分米)。假设水面仍未淹没圆柱,水的底面积为$30×10-60=240$(平方分米),此时水面高度应为$2700÷240=11.25$(分米)。但圆柱高 11 分米,11.25 分米大于 11 分米,说明圆柱已被完全淹没。此时水和两个圆柱的总体积为$2700+330×2=3360$(立方分米),水面高度为$3360÷(30×10)=11.2$(分米)。(3)再放入一个同样的圆柱,三个圆柱的总体积为$330×3=990$(立方分米),水和三个圆柱的总体积为$2700+990=3690$(立方分米)。水池的容积为$30×10×12=3600$(立方分米),$3690＞3600$,水会溢出,所以此时水面高度为水池的高度 12 分米。
(2)假设水面未淹没圆柱。$2700÷(30×10-30×2)=11.25$(分米)因为$11.25＞11$,所以圆柱已被完全淹没。此时水面高度：$(2700+330×2)÷(30×10)=11.2$(分米)
(3)$330×3=990$(立方分米)$2700+990=3690$(立方分米)$30×10×12=3600$(立方分米)因为$3690＞3600$,水会溢出,所以水面高度为水池的高度 12 分米。【提示】(1)首先计算水池中原有的水量。水池底面长 30 分米、宽 10 分米、高 12 分米,存有$\frac {3}{4}$池水,所以原有水的高度为$12×\frac {3}{4}=9$(分米),水的体积为$30×10×9=2700$(立方分米)。圆柱的体积为 330 立方分米,高 11 分米,其底面积为$330÷11=30$(平方分米)。将圆柱竖直放入池中,假设水面未淹没圆柱,此时水的底面积变为水池底面积减去圆柱底面积,即$30×10-30=270$(平方分米)。根据体积公式,水面高度为$2700÷270=10$(分米),因为 10 分米小于圆柱的高 11 分米,所以水面未淹没圆柱,此时水面高度为 10 分米。(2)再放入一个同样的圆柱,此时两个圆柱的总底面积为$30×2=60$(平方分米)。假设水面仍未淹没圆柱,水的底面积为$30×10-60=240$(平方分米),此时水面高度应为$2700÷240=11.25$(分米)。但圆柱高 11 分米,11.25 分米大于 11 分米,说明圆柱已被完全淹没。此时水和两个圆柱的总体积为$2700+330×2=3360$(立方分米),水面高度为$3360÷(30×10)=11.2$(分米)。(3)再放入一个同样的圆柱,三个圆柱的总体积为$330×3=990$(立方分米),水和三个圆柱的总体积为$2700+990=3690$(立方分米)。水池的容积为$30×10×12=3600$(立方分米),$3690＞3600$,水会溢出,所以此时水面高度为水池的高度 12 分米。
