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7. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB // DC $，$ AB = AD $，对角线 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ O $，$ AC $ 平分 $ ∠ BAD $，过点 $ C $ 作 $ CE ⊥ AB $ 交 $ AB $ 的延长线于点 $ E $，连接 $ OE $.
（1）求证：$ BD $ 垂直平分 $ AC $；
（2）若 $ AB = \sqrt{5} $，$ AC = 2BD $，求 $ OE $ 的长.
（1）求证：$ BD $ 垂直平分 $ AC $；
（2）若 $ AB = \sqrt{5} $，$ AC = 2BD $，求 $ OE $ 的长.
答案
7. (1) 证明：
∵AB//DC，
∴∠BAC=∠DCA。
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD。
∵AB=AD，
∴AB=CD。
∵AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC。 (2) 解：在菱形ABCD中，AO=CO，BO=DO，
∵AC=2BD，
∴AO=2BO。
∵AB=$\sqrt{5}$，∠AOB=90°，根据勾股定理，得$AO^{2}+OB^{2}=AB^{2}$，
∴$5OB^{2}=5$，解得OB=1或OB = -1(舍去)，
∴AO=2。
∵CE⊥AE，
∴∠CEA=90°，
∴OE=OA=2。
∵AB//DC，
∴∠BAC=∠DCA。
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD。
∵AB=AD，
∴AB=CD。
∵AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC。 (2) 解：在菱形ABCD中，AO=CO，BO=DO，
∵AC=2BD，
∴AO=2BO。
∵AB=$\sqrt{5}$，∠AOB=90°，根据勾股定理，得$AO^{2}+OB^{2}=AB^{2}$，
∴$5OB^{2}=5$，解得OB=1或OB = -1(舍去)，
∴AO=2。
∵CE⊥AE，
∴∠CEA=90°，
∴OE=OA=2。
8. 如图，将矩形纸片 $ ABCD(AD ＞ AB) $ 折叠，使点 $ C $ 刚好落在线段 $ AD $ 上，且折痕分别与边 $ BC $，$ AD $ 相交. 设折叠后点 $ C $，$ D $ 的对应点分别为点 $ G $，$ H $，折痕分别与边 $ BC $，$ AD $ 相交于点 $ E $，$ F $，连接 $ CF $.
（1）判断四边形 $ CEGF $ 的形状，并证明你的结论；
（2）若 $ AB = 3 $，$ BC = 9 $，求线段 $ CE $ 的取值范围.
（1）判断四边形 $ CEGF $ 的形状，并证明你的结论；
（2）若 $ AB = 3 $，$ BC = 9 $，求线段 $ CE $ 的取值范围.
答案
8. (1) 四边形CEGF是菱形。证明：由题意，得EF是CG的垂直平分线，
∴FC=FG，EC=EG。又
∵AD//BC，
∴∠GFE=∠CEF，由折叠知∠CEF=∠GEF，
∴∠GEF=∠GFE，EG=GF，
∴EG=FG=FC=EC，
∴四边形CEGF是菱形。 (2) 解：如图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE=CD=3；如图②，当点G与点A重合时，CE最大，设CE=x，则BE=9 - x，由(1)知AE=CE=x，
∵在Rt△ABE中，$AB^{2}+BE^{2}=AE^{2}$，即$9+(9 - x)^{2}=x^{2}$，解得x=5，
∴CE=5，
∴线段CE的取值范围为3≤CE≤5。
(第8题)