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6. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 的中点，$AB = 6$，$∠ EDF = 45^{\circ}$，$DF$ 交 $AB$ 于点 $F$。求 $EF$ 的长。
答案
解：作DG⊥DF交BC的延长线于点G
则∠CDG=∠ADF=90°-∠FDC
又AD=CD，∠A=∠DCG=90°
∴△DAF≌△DCG
∴AF=CG，DF=DG
∵∠EDF=45°
∴∠EDG=90°-45°=45°=∠EDF
又DE=DE
∴△DFE≌△DGE
∴EF=EG
设AF的长为x，则BF=6-x，EF=3+x
由$BF^2+BE^2=EF^2$，$(6-x)^2+3^2=(3+x)^2$
解得x=2
∴EF=5
解析
【解析】
作$DG⊥DF$交$BC$的延长线于点$G$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD=CD$，$∠A=∠DCG=∠ADC=90°$，
∴$∠CDG=∠ADF=90°-∠FDC$。
在$△ DAF$和$△ DCG$中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠DCG\\AD=CD\\∠ADF=∠CDG\end{array} $
∴$△ DAF≌△ DCG$（ASA），
∴$AF=CG$，$DF=DG$。
∵$∠EDF=45°$，
∴$∠EDG=∠ADC - ∠EDF=90°-45°=45°$，即$∠EDG=∠EDF$。
在$△ DFE$和$△ DGE$中，
$\{\begin{array}{l}DF=DG\\∠EDF=∠EDG\\DE=DE\end{array} $
∴$△ DFE≌△ DGE$（SAS），
∴$EF=EG$。
∵$AB=6$，$E$是$BC$的中点，
∴$BE=EC=3$，设$AF=x$，则$BF=6-x$，$CG=x$，$EG=EC+CG=3+x$，故$EF=3+x$。
在$Rt△ BEF$中，由勾股定理得：$BF^2 + BE^2 = EF^2$，
即$(6-x)^2 + 3^2 = (3+x)^2$，
解得$x=2$，
∴$EF=3+2=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题通过构造辅助线构造全等三角形，将分散的线段进行转化，结合勾股定理建立方程求解，体现了转化思想在几何解题中的应用，是正方形与全等三角形、勾股定理综合的典型题型。
作$DG⊥DF$交$BC$的延长线于点$G$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD=CD$，$∠A=∠DCG=∠ADC=90°$，
∴$∠CDG=∠ADF=90°-∠FDC$。
在$△ DAF$和$△ DCG$中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠DCG\\AD=CD\\∠ADF=∠CDG\end{array} $
∴$△ DAF≌△ DCG$（ASA），
∴$AF=CG$，$DF=DG$。
∵$∠EDF=45°$，
∴$∠EDG=∠ADC - ∠EDF=90°-45°=45°$，即$∠EDG=∠EDF$。
在$△ DFE$和$△ DGE$中，
$\{\begin{array}{l}DF=DG\\∠EDF=∠EDG\\DE=DE\end{array} $
∴$△ DFE≌△ DGE$（SAS），
∴$EF=EG$。
∵$AB=6$，$E$是$BC$的中点，
∴$BE=EC=3$，设$AF=x$，则$BF=6-x$，$CG=x$，$EG=EC+CG=3+x$，故$EF=3+x$。
在$Rt△ BEF$中，由勾股定理得：$BF^2 + BE^2 = EF^2$，
即$(6-x)^2 + 3^2 = (3+x)^2$，
解得$x=2$，
∴$EF=3+2=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题通过构造辅助线构造全等三角形，将分散的线段进行转化，结合勾股定理建立方程求解，体现了转化思想在几何解题中的应用，是正方形与全等三角形、勾股定理综合的典型题型。
7. 如图，点 $P$ 在正三角形 $ABC$ 内，$PA = 6$，$PB = 8$，$PC = 10$。求 $∠ APB$ 的度数。
答案
解：将△APB绕点B旋转，使BA与BC重合，得△BCE，连接PE
则△BEP 是正三角形
∴PE= BP=8，∠BEP= 60°
在△PEC中，PE= 8，EC=6，PC=10
∴$PE^2+EC^2=PC^2$
∴∠PEC=90°
∴∠APB=∠BEC= 60°+90°= 150°
解析
【解析】
将△APB绕点B旋转，使BA与BC重合，得到△BCE，连接PE。
因为△ABC是正三角形，旋转后BA与BC重合，所以BE=BP，∠PBE=∠ABC=60°，故△BEP是正三角形，因此PE=BP=8，∠BEP=60°。
在△PEC中，PE=8，EC=PA=6，PC=10，满足$PE^2+EC^2=8^2+6^2=100=10^2=PC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得∠PEC=90°。
所以∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=60°+90°=150°。
【答案】
∠APB的度数为150°
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 勾股定理的逆定理
3. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题通过旋转构造全等三角形和特殊三角形，将分散的线段集中到一个三角形中，利用勾股定理的逆定理和等边三角形的性质求解角度，体现了转化思想在几何解题中的应用。
将△APB绕点B旋转，使BA与BC重合，得到△BCE，连接PE。
因为△ABC是正三角形，旋转后BA与BC重合，所以BE=BP，∠PBE=∠ABC=60°，故△BEP是正三角形，因此PE=BP=8，∠BEP=60°。
在△PEC中，PE=8，EC=PA=6，PC=10，满足$PE^2+EC^2=8^2+6^2=100=10^2=PC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得∠PEC=90°。
所以∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=60°+90°=150°。
【答案】
∠APB的度数为150°
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 勾股定理的逆定理
3. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题通过旋转构造全等三角形和特殊三角形，将分散的线段集中到一个三角形中，利用勾股定理的逆定理和等边三角形的性质求解角度，体现了转化思想在几何解题中的应用。
