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【例 2】某市现要修一条公路,甲工程队单独修需 $30$ 天完成,乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的 $\frac{7}{10}$ 少 $1$ 天.
(1) 乙工程队单独完成需要多少天？
(2) 若甲队先单独修 $5$ 天,之后甲、乙两队合作修完这条公路,求甲、乙两队还需合作几天才能修完这条公路.
(1) 乙工程队单独完成需要多少天？
(2) 若甲队先单独修 $5$ 天,之后甲、乙两队合作修完这条公路,求甲、乙两队还需合作几天才能修完这条公路.
答案
(1)30×$\frac{7}{10}$-1=20(天).
答:乙工程队单独完成需要20天.
(2)设甲、乙两队还需合作x天才能修完这条公路.
由题意,得$\frac{1}{30}(5+x)+\frac{1}{20}x=1$.
解得x=10.
答:甲、乙两队还需合作10天才能修完这条公路.
解析
【分析】
（1）第一问直接根据题干给出的乙单独完成天数与甲的数量关系计算即可，用甲单独完成的天数乘以$\frac{7}{10}$再减去1天，就能得到乙单独完成的天数。
（2）第二问属于工程问题，常规思路是把总工作量看作单位“1”，先分别求出甲、乙的工作效率（工作效率=1÷单独完成总天数）。甲先单独修5天，之后合作x天，那么甲一共工作了（5+x）天，乙仅在合作阶段工作了x天，根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到合作天数。
【解析】
(1) 按照乙队单独完成天数的计算规则列式：
$30×\frac{7}{10}-1=21-1=20$（天）
答：乙工程队单独完成需要20天。
(2) 解：设甲、乙两队还需合作$x$天才能修完这条公路。
把公路总工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{30}$/天，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$/天。
根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{30}(5+x)+\frac{1}{20}x=1$
去分母，两边同时乘60得：$2(5+x)+3x=60$
去括号得：$10+2x+3x=60$
移项合并同类项得：$5x=50$
系数化为1得：$x=10$
答：甲、乙两队还需合作10天才能修完这条公路。
【答案】
(1) 乙工程队单独完成需要20天；
(2) 甲、乙两队还需合作10天才能修完这条公路。
【知识点】
分数乘法应用；工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程类的基础常规题，第一问侧重分数运算的实际应用，计算难度低；第二问考察工程问题的核心解题思路，需要掌握总工作量设为1、工作量=工作效率×工作时间的等量关系来列方程求解，是巩固工程问题解题方法的典型习题。
【难度系数】
0.8
（1）第一问直接根据题干给出的乙单独完成天数与甲的数量关系计算即可，用甲单独完成的天数乘以$\frac{7}{10}$再减去1天，就能得到乙单独完成的天数。
（2）第二问属于工程问题，常规思路是把总工作量看作单位“1”，先分别求出甲、乙的工作效率（工作效率=1÷单独完成总天数）。甲先单独修5天，之后合作x天，那么甲一共工作了（5+x）天，乙仅在合作阶段工作了x天，根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到合作天数。
【解析】
(1) 按照乙队单独完成天数的计算规则列式：
$30×\frac{7}{10}-1=21-1=20$（天）
答：乙工程队单独完成需要20天。
(2) 解：设甲、乙两队还需合作$x$天才能修完这条公路。
把公路总工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{30}$/天，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$/天。
根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{30}(5+x)+\frac{1}{20}x=1$
去分母，两边同时乘60得：$2(5+x)+3x=60$
去括号得：$10+2x+3x=60$
移项合并同类项得：$5x=50$
系数化为1得：$x=10$
答：甲、乙两队还需合作10天才能修完这条公路。
【答案】
(1) 乙工程队单独完成需要20天；
(2) 甲、乙两队还需合作10天才能修完这条公路。
【知识点】
分数乘法应用；工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程类的基础常规题，第一问侧重分数运算的实际应用，计算难度低；第二问考察工程问题的核心解题思路，需要掌握总工作量设为1、工作量=工作效率×工作时间的等量关系来列方程求解，是巩固工程问题解题方法的典型习题。
【难度系数】
0.8
3. 某项工作甲单独做 $3$ 天完成,乙单独做 $5$ 天完成. 甲先做 $1$ 天,然后甲、乙合作完成此项工作. 若设甲、乙合作了 $x$ 天,所列方程为( )
A.$\frac{x + 1}{3}+\frac{x + 1}{5}= 1$
B.$\frac{x}{3}+\frac{x + 1}{5}= 1$
C.$\frac{x + 1}{3}+\frac{x}{5}= 1$
D.$\frac{x}{3}+\frac{x - 1}{5}= 1$
A.$\frac{x + 1}{3}+\frac{x + 1}{5}= 1$
B.$\frac{x}{3}+\frac{x + 1}{5}= 1$
C.$\frac{x + 1}{3}+\frac{x}{5}= 1$
D.$\frac{x}{3}+\frac{x - 1}{5}= 1$
答案
C
解析
【分析】
解决工程类问题首先要明确基本等量关系：工作总量=工作效率×工作时间，通常将总工作量设为单位“1”。解题思路如下：第一步先计算甲、乙各自的工作效率；第二步确定甲、乙分别的工作时长，甲先做1天，后续合作x天，因此甲总工作时长为(x+1)天，乙仅参与合作阶段，工作时长为x天；第三步根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”即可列出方程。
【解析】
首先把这项工作的总工作量看作单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独做3天完成，因此甲的工作效率为$\frac{1}{3}$；乙单独做5天完成，因此乙的工作效率为$\frac{1}{5}$。
2. 确定工作时长：甲一共工作了$(x+1)$天，乙一共工作了$x$天。
3. 计算工作量并列方程：
甲的总工作量为$\frac{1}{3}×(x+1)=\frac{x+1}{3}$，
乙的总工作量为$\frac{1}{5}× x=\frac{x}{5}$，
根据总工作量为1，可列方程：$\frac{x+1}{3}+\frac{x}{5}=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 工程问题基本公式
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的常规基础题型，解题核心是准确梳理各工作主体的工作效率和对应工作时长，掌握总工作量设为1的常用设定，即可快速准确列方程求解，属于得分率较高的题型。
【难度系数】
0.8
解决工程类问题首先要明确基本等量关系：工作总量=工作效率×工作时间，通常将总工作量设为单位“1”。解题思路如下：第一步先计算甲、乙各自的工作效率；第二步确定甲、乙分别的工作时长，甲先做1天，后续合作x天，因此甲总工作时长为(x+1)天，乙仅参与合作阶段，工作时长为x天；第三步根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”即可列出方程。
【解析】
首先把这项工作的总工作量看作单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独做3天完成，因此甲的工作效率为$\frac{1}{3}$；乙单独做5天完成，因此乙的工作效率为$\frac{1}{5}$。
2. 确定工作时长：甲一共工作了$(x+1)$天，乙一共工作了$x$天。
3. 计算工作量并列方程：
甲的总工作量为$\frac{1}{3}×(x+1)=\frac{x+1}{3}$，
乙的总工作量为$\frac{1}{5}× x=\frac{x}{5}$，
根据总工作量为1，可列方程：$\frac{x+1}{3}+\frac{x}{5}=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 工程问题基本公式
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的常规基础题型，解题核心是准确梳理各工作主体的工作效率和对应工作时长，掌握总工作量设为1的常用设定，即可快速准确列方程求解，属于得分率较高的题型。
【难度系数】
0.8
4. 某中学需要制作宣传栏,请来三名工人,已知甲单独做 $12$ 天可完成,乙单独做 $20$ 天可完成,丙单独做 $15$ 天可完成. 现在甲和乙合作了 $4$ 天,余下的工作由乙和丙两人合作完成. 完成后,支付酬金 $4000$ 元,如果按每人完成的工作量计算报酬,那么乙应得报酬多少元？
答案
解:设完成这项任务共需要x天.
根据题意,得$\frac{4}{12}+\frac{x}{20}+\frac{x-4}{15}=1$,
解得x=8.
所以乙工作8天,完成这项任务的$\frac{8}{20}$,即$\frac{2}{5}$.
4000×$\frac{2}{5}$=1600(元),
所以乙应得1600元.
根据题意,得$\frac{4}{12}+\frac{x}{20}+\frac{x-4}{15}=1$,
解得x=8.
所以乙工作8天,完成这项任务的$\frac{8}{20}$,即$\frac{2}{5}$.
4000×$\frac{2}{5}$=1600(元),
所以乙应得1600元.
解析
【分析】
工程问题通常将总工作量看作单位1，首先明确三名工人的工作效率：甲每天完成$\frac{1}{12}$，乙每天完成$\frac{1}{20}$，丙每天完成$\frac{1}{15}$。梳理三人工作时长：甲仅参与前4天工作，乙全程参与工作，丙在甲乙合作4天后加入，因此丙的工作时长比总时长少4天。我们可以先设完成任务总时长为$x$天，根据“三人完成的工作量之和等于总工作量1”列一元一次方程，求出总时长后计算乙的工作量占比，最后用总酬金乘乙的工作量占比即可得到乙应得报酬。
【解析】
解：设完成这项任务共需要$x$天。
根据总工作量为1列方程：
$\frac{4}{12}+\frac{x}{20}+\frac{x-4}{15}=1$
去分母（两边同乘60）得：$20 + 3x + 4(x-4) = 60$
去括号得：$20 + 3x + 4x - 16 = 60$
合并同类项、移项得：$7x = 56$
解得$x=8$。
乙全程工作8天，完成的工作量为$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$，
乙应得报酬为$4000×\frac{2}{5}=1600$（元）。
【答案】
乙应得报酬1600元。
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程分配类典型题型，解题核心是明确各主体的工作时长，结合“总工作量为1”的隐含条件建立方程求解，再按工作量占比分配酬劳，重点考查工程问题基本公式的应用和一元一次方程的求解能力。
【难度系数】
0.7
工程问题通常将总工作量看作单位1，首先明确三名工人的工作效率：甲每天完成$\frac{1}{12}$，乙每天完成$\frac{1}{20}$，丙每天完成$\frac{1}{15}$。梳理三人工作时长：甲仅参与前4天工作，乙全程参与工作，丙在甲乙合作4天后加入，因此丙的工作时长比总时长少4天。我们可以先设完成任务总时长为$x$天，根据“三人完成的工作量之和等于总工作量1”列一元一次方程，求出总时长后计算乙的工作量占比，最后用总酬金乘乙的工作量占比即可得到乙应得报酬。
【解析】
解：设完成这项任务共需要$x$天。
根据总工作量为1列方程：
$\frac{4}{12}+\frac{x}{20}+\frac{x-4}{15}=1$
去分母（两边同乘60）得：$20 + 3x + 4(x-4) = 60$
去括号得：$20 + 3x + 4x - 16 = 60$
合并同类项、移项得：$7x = 56$
解得$x=8$。
乙全程工作8天，完成的工作量为$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$，
乙应得报酬为$4000×\frac{2}{5}=1600$（元）。
【答案】
乙应得报酬1600元。
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程分配类典型题型，解题核心是明确各主体的工作时长，结合“总工作量为1”的隐含条件建立方程求解，再按工作量占比分配酬劳，重点考查工程问题基本公式的应用和一元一次方程的求解能力。
【难度系数】
0.7
1. 某工厂生产茶具,每套茶具由 $1$ 个茶壶和 $4$ 只茶杯组成,主要材料是紫砂泥,用 $1\mathrm{kg}$ 紫砂泥可做 $3$ 个茶壶或 $6$ 只茶杯. 现要用 $9\mathrm{kg}$ 紫砂泥制作这些茶具,设用 $x\mathrm{kg}$ 紫砂泥做茶壶时,恰好使制作的茶壶和茶杯配套,则可列方程为( )
A.$3x = 6(9 - x)$
B.$3x = 4×6(9 - x)$
C.$6×3x = 4(9 - x)$
D.$4×3x = 6(9 - x)$
A.$3x = 6(9 - x)$
B.$3x = 4×6(9 - x)$
C.$6×3x = 4(9 - x)$
D.$4×3x = 6(9 - x)$
答案
D
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的配套问题，解题思路如下：首先明确配套规则：1个茶壶需搭配4只茶杯，即茶杯总数量是茶壶总数量的4倍；其次分别表示出茶壶和茶杯的总数量：已知用xkg紫砂泥做茶壶，那么剩余(9-x)kg就用来做茶杯，结合“1kg紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯”，就能分别算出茶壶和茶杯的总量；最后根据配套的数量关系列出等式即可。
【解析】
第一步：确定制作茶壶和茶杯的紫砂泥质量
用xkg紫砂泥做茶壶，则做茶杯的紫砂泥质量为$(9-x)\mathrm{kg}$。
第二步：分别计算茶壶和茶杯的总数量
1kg紫砂泥可做3个茶壶，因此xkg可做茶壶的数量为$3x$个；
1kg紫砂泥可做6只茶杯，因此$(9-x)\mathrm{kg}$可做茶杯的数量为$6(9-x)$只。
第三步：根据配套规则列方程
每套茶具含1个茶壶和4只茶杯，说明茶杯总数量是茶壶总数量的4倍，因此有：
$4× 3x = 6(9-x)$
所以选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 配套问题
2. 列一元一次方程
【点评】
本题是配套类应用题的基础题型，解题核心是准确找到两种配套部件的数量比例关系，再结合已知条件表示出各部件总量后列方程，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的配套问题，解题思路如下：首先明确配套规则：1个茶壶需搭配4只茶杯，即茶杯总数量是茶壶总数量的4倍；其次分别表示出茶壶和茶杯的总数量：已知用xkg紫砂泥做茶壶，那么剩余(9-x)kg就用来做茶杯，结合“1kg紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯”，就能分别算出茶壶和茶杯的总量；最后根据配套的数量关系列出等式即可。
【解析】
第一步：确定制作茶壶和茶杯的紫砂泥质量
用xkg紫砂泥做茶壶，则做茶杯的紫砂泥质量为$(9-x)\mathrm{kg}$。
第二步：分别计算茶壶和茶杯的总数量
1kg紫砂泥可做3个茶壶，因此xkg可做茶壶的数量为$3x$个；
1kg紫砂泥可做6只茶杯，因此$(9-x)\mathrm{kg}$可做茶杯的数量为$6(9-x)$只。
第三步：根据配套规则列方程
每套茶具含1个茶壶和4只茶杯，说明茶杯总数量是茶壶总数量的4倍，因此有：
$4× 3x = 6(9-x)$
所以选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 配套问题
2. 列一元一次方程
【点评】
本题是配套类应用题的基础题型，解题核心是准确找到两种配套部件的数量比例关系，再结合已知条件表示出各部件总量后列方程，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 整理一批图书,一个人做要 $60\mathrm{h}$ 完成,现计划有一部分人先做 $5\mathrm{h}$,然后增加 $4$ 人与他们一起做 $3\mathrm{h}$ 完成这项工作. 假设这些人的工作效率均相同,则下列判断正确的是( )
A.这批图书共有 $3000$ 本
B.应先安排 $7$ 人工作
C.把一个人的工作效率看为 $1$,设安排 $x$ 人先工作 $5\mathrm{h}$,则列出的方程是 $5x + 3(x + 4)= 60$
D.把总工作量看为 $1$,设安排 $x$ 人先做 $5\mathrm{h}$,则可列出的方程是 $\frac{5x}{60}+\frac{4 + 3x}{60}= 1$
A.这批图书共有 $3000$ 本
B.应先安排 $7$ 人工作
C.把一个人的工作效率看为 $1$,设安排 $x$ 人先工作 $5\mathrm{h}$,则列出的方程是 $5x + 3(x + 4)= 60$
D.把总工作量看为 $1$,设安排 $x$ 人先做 $5\mathrm{h}$,则可列出的方程是 $\frac{5x}{60}+\frac{4 + 3x}{60}= 1$
答案
C
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题核心是抓住“总工作量=各部分工作量之和”的等量关系。首先明确：已知单人完成总工作需60h，若将单人每小时工作效率看作1，总工作量即为60；若将总工作量看作1，单人每小时效率为$\frac{1}{60}$。我们可以先设先安排工作的人数为$x$，分别表示出两个阶段的工作量，再逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：题目仅给出工作时间相关条件，没有给出单人每小时整理图书的数量，无法计算图书总本数，故A错误。
B选项：设先安排$x$人工作，把单人效率看作1，总工作量为$1×60=60$，则先做5h的工作量为$5x$，增加4人后$x+4$人做3h的工作量为$3(x+4)$，可得方程：
$5x+3(x+4)=60$
$5x+3x+12=60$
$8x=48$
$x=6$
即应先安排6人工作，不是7人，故B错误。
C选项：把一个人的工作效率看作1，总工作量为$1×60=60$，先做5h的工作量是$5x$，后来$x+4$人做3h的工作量是$3(x+4)$，总工作量等于两部分工作量之和，所以方程为$5x + 3(x + 4)= 60$，故C正确。
D选项：把总工作量看作1，单人效率为$\frac{1}{60}$，先做5h的工作量是$\frac{5x}{60}$，后来$x+4$人做3h的工作量是$\frac{3(x+4)}{60}=\frac{3x+12}{60}$，总方程应为$\frac{5x}{60}+\frac{3x+12}{60}=1$，选项中后项为$\frac{4 + 3x}{60}$，计算错误，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，工作量计算
【点评】
本题是工程类一元一次方程应用的基础题型，解题关键是准确梳理不同工作阶段的人数、工作时间，正确表示各阶段工作量，再结合总工作量的等量关系判断所列方程是否正确。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题核心是抓住“总工作量=各部分工作量之和”的等量关系。首先明确：已知单人完成总工作需60h，若将单人每小时工作效率看作1，总工作量即为60；若将总工作量看作1，单人每小时效率为$\frac{1}{60}$。我们可以先设先安排工作的人数为$x$，分别表示出两个阶段的工作量，再逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：题目仅给出工作时间相关条件，没有给出单人每小时整理图书的数量，无法计算图书总本数，故A错误。
B选项：设先安排$x$人工作，把单人效率看作1，总工作量为$1×60=60$，则先做5h的工作量为$5x$，增加4人后$x+4$人做3h的工作量为$3(x+4)$，可得方程：
$5x+3(x+4)=60$
$5x+3x+12=60$
$8x=48$
$x=6$
即应先安排6人工作，不是7人，故B错误。
C选项：把一个人的工作效率看作1，总工作量为$1×60=60$，先做5h的工作量是$5x$，后来$x+4$人做3h的工作量是$3(x+4)$，总工作量等于两部分工作量之和，所以方程为$5x + 3(x + 4)= 60$，故C正确。
D选项：把总工作量看作1，单人效率为$\frac{1}{60}$，先做5h的工作量是$\frac{5x}{60}$，后来$x+4$人做3h的工作量是$\frac{3(x+4)}{60}=\frac{3x+12}{60}$，总方程应为$\frac{5x}{60}+\frac{3x+12}{60}=1$，选项中后项为$\frac{4 + 3x}{60}$，计算错误，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，工作量计算
【点评】
本题是工程类一元一次方程应用的基础题型，解题关键是准确梳理不同工作阶段的人数、工作时间，正确表示各阶段工作量，再结合总工作量的等量关系判断所列方程是否正确。
【难度系数】
0.7
