4. 【跨学科】将初始图九宫格中剪开的 9 格图片进行平移，拼出目标图《九九消寒图》。操作规则：为了有效地记录、检验和交流平移过程，小明和同伴约定用有序数对描述平移方式并填写操作记录图，约定如下：将初始图中的初始位置图片进行平移，横向移动标记在前，纵向移动标记在后，将向右(或向上)平移 1 格记为 $ +1 $(正号可省略)，反之记为 $ -1 $，以此类推，不移动记为 0。如“前”字在对应位置标记为 $ (2,-1) $。
(1) 操作记录图中“*”位置应填；
(2) 操作记录图中，应标记 $ (0,1) $ 的位置对应初始图中的字为。

]

(1) (0,-2)
(2) 柳

5. 【综合与实践】探索图形平移中的数学问题：
【问题情境】如图①，已知 $ △ ABC $ 是等边三角形，$ AB = 6 $，$ D $ 是 $ AC $ 边的中点，以 $ AD $ 为边，在 $ △ ABC $ 外部作等边三角形 $ ADE $。
【操作探究】将 $ △ ADE $ 从图①的位置开始，沿射线 $ AC $ 的方向平移，点 $ A,D,E $ 的对应点分别为点 $ A',D',E' $。
(1) 如图②，善思小组的同学画出了 $ BA' = BD' $ 时的情形，求此时 $ △ ADE $ 平移的距离。
(2) 如图③，$ F $ 是 $ BC $ 边的中点，在 $ △ ADE $ 的平移过程中，连接 $ E'F $ 交射线 $ AC $ 于点 $ O $，敏学小组的同学发现 $ OE' = OF $ 始终成立，请你证明这一结论。
【拓展延伸】(3) $ F $ 是 $ BC $ 边的中点，在 $ △ ADE $ 平移的过程中，直接写出以 $ F,D',E' $ 为顶点的三角形为直角三角形时，$ △ ADE $ 平移的距离：。
]

(1) 设平移距离为 $ x $。建立坐标系，设 $ A(0,0) $，$ C(6,0) $，$ B(3, 3\sqrt{3}) $，$ D(3,0) $。平移后 $ A'(x,0) $，$ D'(3+x,0) $。由 $ BA' = BD' $，得：
$\sqrt{(3 - x)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{x^2 + (3\sqrt{3})^2}$
平方化简得 $ (3 - x)^2 = x^2 $，解得 $ x = \frac{3}{2} $。
(2) 设平移距离为 $ x $，则 $ E'(\frac{3}{2} + x, -\frac{3\sqrt{3}}{2}) $，$ F(\frac{9}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}) $。直线 $ E'F $ 与 $ AC $（x轴）交于 $ O(m,0) $。
直线 $ E'F $ 斜率 $ k = \frac{3\sqrt{3}}{3 - x} $，方程为 $ y = \frac{3\sqrt{3}}{3 - x}(x - m) $。代入 $ F $ 点坐标解得 $ m = \frac{x + 6}{2} $。
计算 $ OE' = \sqrt{(\frac{x - 3}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} $，$ OF = \sqrt{(\frac{3 - x}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} $，故 $ OE' = OF $。
(3) 6 或 12。