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4. 如图 4，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ D $ 是 $ BC $ 边上一点，$ AC = 2 $，$ CD = 1 $，设 $ ∠ CAD = α $.
(1) 求 $ \sin α $，$ \cos α $，$ \tan α $ 的值；
(2) 若 $ ∠ B = ∠ CAD $，求 $ BD $ 的长.
(1) 求 $ \sin α $，$ \cos α $，$ \tan α $ 的值；
(2) 若 $ ∠ B = ∠ CAD $，求 $ BD $ 的长.
答案
解：
(1) 在$\mathrm{Rt} △ ACD$中，$∠ C = 90°$，$AC = 2$，$CD = 1$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
根据锐角三角函数的定义：
$\sinα=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cosα=\frac{AC}{AD}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tanα=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{2}$；
(2) $\because ∠ B = ∠ CAD = α$，$∠ C = 90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$\tan B=\frac{AC}{BC}$，
又$\tan B=\tanα=\frac{1}{2}$，$AC = 2$，
$\therefore \frac{1}{2}=\frac{2}{BC}$，解得$BC = 4$，
$\because CD = 1$，
$\therefore BD=BC-CD=4-1=3$。
(1) 在$\mathrm{Rt} △ ACD$中，$∠ C = 90°$，$AC = 2$，$CD = 1$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
根据锐角三角函数的定义：
$\sinα=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cosα=\frac{AC}{AD}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tanα=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{2}$；
(2) $\because ∠ B = ∠ CAD = α$，$∠ C = 90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$\tan B=\frac{AC}{BC}$，
又$\tan B=\tanα=\frac{1}{2}$，$AC = 2$，
$\therefore \frac{1}{2}=\frac{2}{BC}$，解得$BC = 4$，
$\because CD = 1$，
$\therefore BD=BC-CD=4-1=3$。
5. 如图 5，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AB // CD $，$ CD = 2 $，$ AD = \sqrt{6} $，$ ∠ A = 45° $，$ ∠ B = 60° $，求梯形 $ ABCD $ 的面积.
答案
解：过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，过点$C$作$CF ⊥ AB$于点$F$，
$\because AB // CD$，$DE ⊥ AB$，$CF ⊥ AB$，
$\therefore DE=CF$，$EF=CD=2$，$∠ DEA=∠ CFB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ A=45°$，$AD=\sqrt{6}$，
$DE=AD·\sin45°=\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$，
$AE=AD·\cos45°=\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ B=60°$，$CF=DE=\sqrt{3}$，
$\because \tan60°=\frac{CF}{BF}$，
$\therefore BF=\frac{CF}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$。
$\therefore AB=AE+EF+BF=\sqrt{3}+2+1=3+\sqrt{3}$。
梯形$ABCD$的面积$S=\frac{1}{2}(AB+CD)· DE$
$=\frac{1}{2}×(3+\sqrt{3}+2)×\sqrt{3}$
$=\frac{1}{2}×(5+\sqrt{3})×\sqrt{3}$
$=\frac{5\sqrt{3}+3}{2}$。
答：梯形$ABCD$的面积为$\boldsymbol{\frac{5\sqrt{3}+3}{2}}$。
$\because AB // CD$，$DE ⊥ AB$，$CF ⊥ AB$，
$\therefore DE=CF$，$EF=CD=2$，$∠ DEA=∠ CFB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ A=45°$，$AD=\sqrt{6}$，
$DE=AD·\sin45°=\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$，
$AE=AD·\cos45°=\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ B=60°$，$CF=DE=\sqrt{3}$，
$\because \tan60°=\frac{CF}{BF}$，
$\therefore BF=\frac{CF}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$。
$\therefore AB=AE+EF+BF=\sqrt{3}+2+1=3+\sqrt{3}$。
梯形$ABCD$的面积$S=\frac{1}{2}(AB+CD)· DE$
$=\frac{1}{2}×(3+\sqrt{3}+2)×\sqrt{3}$
$=\frac{1}{2}×(5+\sqrt{3})×\sqrt{3}$
$=\frac{5\sqrt{3}+3}{2}$。
答：梯形$ABCD$的面积为$\boldsymbol{\frac{5\sqrt{3}+3}{2}}$。
6. 图 6 是一零件图，已知 $ ∠ ABC = ∠ BCD = 90° $，$ AB = 8 \, \mathrm{cm} $，$ \sin A = \dfrac{3}{5} $，$ CD = 2\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $，求 $ \sin ∠ CBD $ 的值.
答案
解：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵ $\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5}$，设$BC=3k$，$AC=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = 4k$，
∵ $AB=8\,\mathrm{cm}$，
∴ $4k=8$，解得$k=2$，
∴ $BC=3k=6\,\mathrm{cm}$。
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，$BC=6\,\mathrm{cm}$，$CD=2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$，
∴ $\sin∠ CBD = \frac{CD}{BD} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$。
答：$\sin∠ CBD$的值为$\frac{1}{2}$。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵ $\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5}$，设$BC=3k$，$AC=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = 4k$，
∵ $AB=8\,\mathrm{cm}$，
∴ $4k=8$，解得$k=2$，
∴ $BC=3k=6\,\mathrm{cm}$。
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，$BC=6\,\mathrm{cm}$，$CD=2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$，
∴ $\sin∠ CBD = \frac{CD}{BD} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$。
答：$\sin∠ CBD$的值为$\frac{1}{2}$。
