14. 防火安全无小事，时时处处需留心. 一天晚上，某居民楼的$A$处着火了，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援. 已知点$A$离地面$28\ \mathrm{m}$，消防车的云梯底部（点$B$）与地面的垂直距离是$4\ \mathrm{m}$，与居民楼的水平距离是$10\ \mathrm{m}$. 云梯需要伸长多少米才能到达着火处？

解：过点B作地面的垂线，垂足为点C，过点B作居民楼的垂线，垂足为点D。
由题意得：AC=28m，BC=4m，BD=10m。
则AD=AC-BC=28-4=24m。
在Rt△ABD中，AD=24m，BD=10m，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26$m。
答：云梯需要伸长26米才能到达着火处。

15. 如图，在$7 × 6$的正方形网格中，每个小正方形的边长为$1$. 已知点$A$，$B$在格点上，请仅用无刻度的直尺（且不能用直尺中的直角）画出符合要求的格点图形.
（1）在图①中画出以线段$AB$为对角线，且对角线互相平分的四边形；
（2）在图②中画出以线段$AB$为边，且对角线相等的菱形.

（1）在图①中，连接AB，找到AB中点O（通过网格线交点确定），在网格中取一格点C，连接CO并延长至D使OD=OC，连接AC、BC、AD、BD，四边形ACBD即为所求。
（2）在图②中，过A作AB的垂线（利用网格格点构成直角），截取AE=AB，过B作AB的垂线，截取BF=AB，连接EF，四边形ABFE即为所求菱形。

16. 一个矩形的长为$a = \sqrt{2} + 1$，宽为$b = \sqrt{2} - 1$.
(1)该矩形的面积$=$；
(2)求$a^{2} + b^{2}$的值.

(1) 1；(2) 6

(1) 矩形面积 = $a × b = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$
(2) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
$a + b = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2}$
$ab = 1$（由(1)得）
$\therefore a^2 + b^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 × 1 = 8 - 2 = 6$

17. 已知关于$x$的函数$y = (3m - 1)x + m + 3$.
（1）若这个函数的图象平行于直线$y = 2x - 3$，求$m$的值；
（2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求$m$的取值范围.

（1）
由于函数$y = (3m - 1)x + m + 3$的图象平行于直线$y = 2x - 3$，根据平行直线的性质，两直线的斜率必须相等。
因此有：
$3m - 1 = 2$，
解得：
$m = 1$。
（2）
由于函数$y = (3m - 1)x + m + 3$是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，根据一次函数的性质，斜率必须小于0，且截距大于0。即：
$\begin{cases}3m - 1 ＜ 0, \\m + 3 ＞ 0.\end{cases}$
解第一个不等式得：
$m ＜ \frac{1}{3}$，
解第二个不等式得：
$m ＞ -3$，
综合两个不等式，得到$m$的取值范围为：
$-3 ＜ m ＜ \frac{1}{3}$。