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1. 计算$2\sqrt{\dfrac{1}{2}} - 6\sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{8}$的结果是(
A.$3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
B.$5 - \sqrt{2}$
C.$5 - \sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}$
A
)A.$3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
B.$5 - \sqrt{2}$
C.$5 - \sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
1. A
解析
$\begin{aligned}&2\sqrt{\dfrac{1}{2}} - 6\sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{8}\\=&2×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - 6×\dfrac{\sqrt{3}}{3} + 2\sqrt{2}\\=&\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\\=&3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}\end{aligned}$
A
A
2. 已知一个等腰三角形的两边长分别为$2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}$，则这个三角形的周长为(
A.$3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$或$6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
D
)A.$3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$或$6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
答案
2. D
解析
情况一：腰长为$2\sqrt{3}$，底边长为$3\sqrt{2}$
$2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，$4\sqrt{3} \approx 6.928$，$3\sqrt{2} \approx 4.242$，$4\sqrt{3} ＞ 3\sqrt{2}$，满足三角形三边关系，周长为$2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$
情况二：腰长为$3\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{3}$
$3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$，$6\sqrt{2} \approx 8.485$，$2\sqrt{3} \approx 3.464$，$6\sqrt{2} ＞ 2\sqrt{3}$，满足三角形三边关系，周长为$3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
D
$2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，$4\sqrt{3} \approx 6.928$，$3\sqrt{2} \approx 4.242$，$4\sqrt{3} ＞ 3\sqrt{2}$，满足三角形三边关系，周长为$2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$
情况二：腰长为$3\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{3}$
$3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$，$6\sqrt{2} \approx 8.485$，$2\sqrt{3} \approx 3.464$，$6\sqrt{2} ＞ 2\sqrt{3}$，满足三角形三边关系，周长为$3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
D
3. 已知$a$，$b$分别是$6 - \sqrt{13}$的整数部分和小数部分，则$2a - b$的值是(
A.$3 - \sqrt{13}$
B.$4 - \sqrt{13}$
C.$\sqrt{13}$
D.$2 + \sqrt{13}$
C
)A.$3 - \sqrt{13}$
B.$4 - \sqrt{13}$
C.$\sqrt{13}$
D.$2 + \sqrt{13}$
答案
3. C
解析
因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$。
则$-4＜-\sqrt{13}＜-3$，所以$6 - 4＜6 - \sqrt{13}＜6 - 3$，即$2＜6 - \sqrt{13}＜3$。
所以$6 - \sqrt{13}$的整数部分$a = 2$，小数部分$b=6 - \sqrt{13}-2=4 - \sqrt{13}$。
因此$2a - b=2×2-(4 - \sqrt{13})=4 - 4 + \sqrt{13}=\sqrt{13}$。
C
则$-4＜-\sqrt{13}＜-3$，所以$6 - 4＜6 - \sqrt{13}＜6 - 3$，即$2＜6 - \sqrt{13}＜3$。
所以$6 - \sqrt{13}$的整数部分$a = 2$，小数部分$b=6 - \sqrt{13}-2=4 - \sqrt{13}$。
因此$2a - b=2×2-(4 - \sqrt{13})=4 - 4 + \sqrt{13}=\sqrt{13}$。
C
4. 若最简二次根式$\sqrt{5a^{2} + 1}$与$5\sqrt{7a^{2} - 1}$能进行合并，则结果是
$ 6\sqrt{6} $
.答案
4. $ 6\sqrt{6} $
解析
因为最简二次根式$\sqrt{5a^{2} + 1}$与$5\sqrt{7a^{2} - 1}$能合并，所以它们的被开方数相等，即$5a^{2} + 1 = 7a^{2} - 1$，解得$a^{2}=1$。则$5a^{2} + 1=5×1 + 1=6$，所以$\sqrt{5a^{2} + 1}=\sqrt{6}$，$5\sqrt{7a^{2} - 1}=5\sqrt{6}$，合并结果为$\sqrt{6}+5\sqrt{6}=6\sqrt{6}$。
$6\sqrt{6}$
$6\sqrt{6}$
5. 已知$a = 3 + 2\sqrt{2}$，$b = 3 - 2\sqrt{2}$，则$a^{2}b + ab^{2} =$
6
.答案
5. 6
解析
$a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b)$，
$a + b = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$，
$ab = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^{2} - (2\sqrt{2})^{2} = 9 - 8 = 1$，
所以$a^{2}b + ab^{2} = 1×6 = 6$。
$a + b = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$，
$ab = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^{2} - (2\sqrt{2})^{2} = 9 - 8 = 1$，
所以$a^{2}b + ab^{2} = 1×6 = 6$。
6. 计算：
(1) $\sqrt{27a} - a\sqrt{\dfrac{3}{a}} + 3\sqrt{\dfrac{a}{3}} + \dfrac{1}{2a}\sqrt{75a^{3}}$；
(2) $\dfrac{2}{3}x\sqrt{9x} + 6x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} - x^{2}\sqrt{\dfrac{1}{x}}$.
(1) $\sqrt{27a} - a\sqrt{\dfrac{3}{a}} + 3\sqrt{\dfrac{a}{3}} + \dfrac{1}{2a}\sqrt{75a^{3}}$；
(2) $\dfrac{2}{3}x\sqrt{9x} + 6x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} - x^{2}\sqrt{\dfrac{1}{x}}$.
答案
(1) $\sqrt{27a} - a\sqrt{\dfrac{3}{a}} + 3\sqrt{\dfrac{a}{3}} + \dfrac{1}{2a}\sqrt{75a^{3}}$
$=3\sqrt{3a} - \sqrt{3a} + \sqrt{3a} + \dfrac{5}{2}\sqrt{3a}$
$=(3 - 1 + 1 + \dfrac{5}{2})\sqrt{3a}$
$=\dfrac{11}{2}\sqrt{3a}$
(2) $\dfrac{2}{3}x\sqrt{9x} + 6x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} - x^{2}\sqrt{\dfrac{1}{x}}$
$=2x\sqrt{x} + 6\sqrt{xy} + \sqrt{xy} - x\sqrt{x}$
$=(2x\sqrt{x} - x\sqrt{x}) + (6\sqrt{xy} + \sqrt{xy})$
$=x\sqrt{x} + 7\sqrt{xy}$
$=3\sqrt{3a} - \sqrt{3a} + \sqrt{3a} + \dfrac{5}{2}\sqrt{3a}$
$=(3 - 1 + 1 + \dfrac{5}{2})\sqrt{3a}$
$=\dfrac{11}{2}\sqrt{3a}$
(2) $\dfrac{2}{3}x\sqrt{9x} + 6x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} - x^{2}\sqrt{\dfrac{1}{x}}$
$=2x\sqrt{x} + 6\sqrt{xy} + \sqrt{xy} - x\sqrt{x}$
$=(2x\sqrt{x} - x\sqrt{x}) + (6\sqrt{xy} + \sqrt{xy})$
$=x\sqrt{x} + 7\sqrt{xy}$
解析
(1) $\sqrt{27a} - a\sqrt{\dfrac{3}{a}} + 3\sqrt{\dfrac{a}{3}} + \dfrac{1}{2a}\sqrt{75a^{3}}$
$=3\sqrt{3a} - \sqrt{3a} + \sqrt{3a} + \dfrac{5}{2}\sqrt{3a}$
$=(3 - 1 + 1 + \dfrac{5}{2})\sqrt{3a}$
$=\dfrac{11}{2}\sqrt{3a}$
(2) $\dfrac{2}{3}x\sqrt{9x} + 6x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} - x^{2}\sqrt{\dfrac{1}{x}}$
$=2x\sqrt{x} + 6\sqrt{xy} + \sqrt{xy} - x\sqrt{x}$
$=(2x\sqrt{x} - x\sqrt{x}) + (6\sqrt{xy} + \sqrt{xy})$
$=x\sqrt{x} + 7\sqrt{xy}$
$=3\sqrt{3a} - \sqrt{3a} + \sqrt{3a} + \dfrac{5}{2}\sqrt{3a}$
$=(3 - 1 + 1 + \dfrac{5}{2})\sqrt{3a}$
$=\dfrac{11}{2}\sqrt{3a}$
(2) $\dfrac{2}{3}x\sqrt{9x} + 6x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} - x^{2}\sqrt{\dfrac{1}{x}}$
$=2x\sqrt{x} + 6\sqrt{xy} + \sqrt{xy} - x\sqrt{x}$
$=(2x\sqrt{x} - x\sqrt{x}) + (6\sqrt{xy} + \sqrt{xy})$
$=x\sqrt{x} + 7\sqrt{xy}$
1. 观察下列各数：$2$，$\sqrt{7}$，$2\sqrt{3}$，$\sqrt{19}$，$2\sqrt{7}$，…，第$8$个数是
$ \sqrt{67} $
.答案
1. $ \sqrt{67} $
解析
将各数化为二次根式形式：$2 = \sqrt{4}$，$\sqrt{7}$，$2\sqrt{3} = \sqrt{12}$，$\sqrt{19}$，$2\sqrt{7} = \sqrt{28}$，…
观察被开方数：4，7，12，19，28，…
相邻两数差值依次为：7 - 4 = 3，12 - 7 = 5，19 - 12 = 7，28 - 19 = 9，…，差值为连续奇数3，5，7，9，…
第1个数被开方数：4
第2个数被开方数：4 + 3 = 7
第3个数被开方数：7 + 5 = 12
第4个数被开方数：12 + 7 = 19
第5个数被开方数：19 + 9 = 28
第6个数被开方数：28 + 11 = 39
第7个数被开方数：39 + 13 = 52
第8个数被开方数：52 + 15 = 67
故第8个数是$\sqrt{67}$
$\sqrt{67}$
观察被开方数：4，7，12，19，28，…
相邻两数差值依次为：7 - 4 = 3，12 - 7 = 5，19 - 12 = 7，28 - 19 = 9，…，差值为连续奇数3，5，7，9，…
第1个数被开方数：4
第2个数被开方数：4 + 3 = 7
第3个数被开方数：7 + 5 = 12
第4个数被开方数：12 + 7 = 19
第5个数被开方数：19 + 9 = 28
第6个数被开方数：28 + 11 = 39
第7个数被开方数：39 + 13 = 52
第8个数被开方数：52 + 15 = 67
故第8个数是$\sqrt{67}$
$\sqrt{67}$
2. 观察下列各式：$\sqrt{1 + \dfrac{1}{3}} = 2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{2 + \dfrac{1}{4}} = 3\sqrt{\dfrac{1}{4}}$，$\sqrt{3 + \dfrac{1}{5}} = 4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，…，请你将发现的规律用含$n$($n≥1$，且为整数)的等式表示出来：
$ \sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}} $
.答案
2. $ \sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}} $
3. 当$x ＜ 0$时，$\sqrt{20x^{2}} =$
$ -2\sqrt{5}x $
，$\sqrt{(x^{2} + 1)^{2}} =$$ x^{2}+1 $
.答案
3. $ -2\sqrt{5}x $ $ x^{2}+1 $
4. 如果$\sqrt{16x^{2}} = 4x$，那么$x$的取值范围是
$ x≥ 0 $
；如果$\sqrt{(x + 1)^{2}} = (\sqrt{x + 1})^{2}$，那么$x$的取值范围是$ x≥ -1 $
.答案
4. $ x≥ 0 $ $ x≥ -1 $
解析
$x ≥ 0$；$x ≥ -1$
5. 计算：
(1) $3\sqrt{90} + \sqrt{\dfrac{2}{5}} - 4\sqrt{\dfrac{1}{40}}$；
(2) $5\sqrt{2x} - \sqrt{8x^{3}} + \sqrt{\dfrac{x}{2}}$；
(3) $a^{2}\sqrt{8a} + 3a\sqrt{50a^{3}} - \dfrac{a}{2}\sqrt{18a^{3}}$；
(4) $\sqrt{75} + 2\sqrt{5\dfrac{1}{3}} - 3\sqrt{108} - 8\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(5) $5(\sqrt{\dfrac{1}{5}} - \dfrac{1}{10}\sqrt{20}) - \dfrac{5}{2}(\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{4}{5}} - \dfrac{2}{5}\sqrt{45})$；
(6) $2a[\sqrt{3ab^{2}} - (\dfrac{1}{12}\sqrt{27ab^{2}} - b\sqrt{\dfrac{3a}{4}})](a ＞ 0,b ＞ 0)$.
(1) $3\sqrt{90} + \sqrt{\dfrac{2}{5}} - 4\sqrt{\dfrac{1}{40}}$；
(2) $5\sqrt{2x} - \sqrt{8x^{3}} + \sqrt{\dfrac{x}{2}}$；
(3) $a^{2}\sqrt{8a} + 3a\sqrt{50a^{3}} - \dfrac{a}{2}\sqrt{18a^{3}}$；
(4) $\sqrt{75} + 2\sqrt{5\dfrac{1}{3}} - 3\sqrt{108} - 8\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(5) $5(\sqrt{\dfrac{1}{5}} - \dfrac{1}{10}\sqrt{20}) - \dfrac{5}{2}(\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{4}{5}} - \dfrac{2}{5}\sqrt{45})$；
(6) $2a[\sqrt{3ab^{2}} - (\dfrac{1}{12}\sqrt{27ab^{2}} - b\sqrt{\dfrac{3a}{4}})](a ＞ 0,b ＞ 0)$.
答案
5. (1) $ 9\sqrt{10} $ (2) $ (\dfrac{11}{2}-2x)\sqrt{2x} $ (3) $ \dfrac{31a^{2}}{2}\sqrt{2a} $ (4) $ -13\sqrt{3} $ (5) $ \dfrac{5}{2}\sqrt{5} $ (6) $ \dfrac{5ab}{2}\sqrt{3a} $
解析
解：原式$=2a[\sqrt{3ab^{2}} - (\dfrac{1}{12}\sqrt{27ab^{2}} - b\sqrt{\dfrac{3a}{4}})]$
$=2a[b\sqrt{3a} - (\dfrac{1}{12} × 3b\sqrt{3a} - b × \dfrac{\sqrt{3a}}{2})]$
$=2a[b\sqrt{3a} - (\dfrac{b\sqrt{3a}}{4} - \dfrac{b\sqrt{3a}}{2})]$
$=2a[b\sqrt{3a} - (-\dfrac{b\sqrt{3a}}{4})]$
$=2a(b\sqrt{3a} + \dfrac{b\sqrt{3a}}{4})$
$=2a × \dfrac{5b\sqrt{3a}}{4}$
$=\dfrac{5ab}{2}\sqrt{3a}$
$=2a[b\sqrt{3a} - (\dfrac{1}{12} × 3b\sqrt{3a} - b × \dfrac{\sqrt{3a}}{2})]$
$=2a[b\sqrt{3a} - (\dfrac{b\sqrt{3a}}{4} - \dfrac{b\sqrt{3a}}{2})]$
$=2a[b\sqrt{3a} - (-\dfrac{b\sqrt{3a}}{4})]$
$=2a(b\sqrt{3a} + \dfrac{b\sqrt{3a}}{4})$
$=2a × \dfrac{5b\sqrt{3a}}{4}$
$=\dfrac{5ab}{2}\sqrt{3a}$
