【例4】为响应学校开展的“健康消费，节约零花钱”活动，小明计划合理使用零花钱，把节约的零花钱积攒起来。一个月后小明积攒了$5$元和$1$元的零花钱若干张，共计$18$元，你知道小明$5$元和$1$元的零花钱的张数有多少种可能吗？

4种。

设5元的张数为$x$，1元的张数为$y$，其中$x$，$y$为非负整数。
根据题意，得$5x + y = 18$，则$y = 18 - 5x$。
因为$y ≥ 0$，所以$18 - 5x ≥ 0$，解得$x ≤ 3.6$。
又因为$x$为非负整数，所以$x$可取$0$，$1$，$2$，$3$。
当$x = 0$时，$y = 18$；
当$x = 1$时，$y = 13$；
当$x = 2$时，$y = 8$；
当$x = 3$时，$y = 3$。
共4种可能。

【变式3】二元一次方程组$\begin{cases}7x - 3y = 2,\\2x + y = 8\end{cases}$的解是( )。

A.$\begin{cases}x = - 1,\\y = - 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 4,\\y = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 1,\\y = 6\end{cases}$

B

已知方程组：
$\begin{cases}7x - 3y = 2 \quad (1), \\2x + y = 8 \quad (2)\end{cases}$
由方程$(2)$，得 ：
$y = 8 - 2x \quad (3)$
将$(3)$代入$(1)$，得：
$7x - 3(8 - 2x) = 2$
$7x - 24 + 6x = 2$
$13x = 26$
$x = 2$
将$x = 2$代入$(3)$，得：
$y = 8 - 2 × 2 = 4$
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 2, \\y = 4\end{cases}$

【变式4】(2024南充期末)方程$2x + y = 7$在正整数范围内的解有()。

A.$1$组
B.$2$组
C.$3$组
D.$4$组

C

由$2x + y = 7$，得$y = 7 - 2x$。
因为$x$，$y$都是正整数，
当$x = 1$时，$y = 7 - 2×1 = 5$；
当$x = 2$时，$y = 7 - 2×2 = 3$；
当$x = 3$时，$y = 7 - 2×3 = 1$；
当$x≥4$时，$y = 7 - 2x≤ - 1$，不满足$y$是正整数。
所以在正整数范围内解有$\begin{cases}x = 1\\y = 5\end{cases}$，$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$，$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$，共$3$组。

【变式5】某电视台在黄金时段的$2\min$广告时间内，计划播出长度为$15s$和$30s$的两种广告，$15s$的广告每播一次收费$0.6$万元，$30s$的广告每播一次收费$1$万元，若要求播放每种广告不少于$2$次。
(1) 两种广告的播放次数有几种安排方式？
(2) 电视台选择哪种方式播放收益较大？

(1) 设播放$15$秒的广告为$x$次，播放$30$秒的广告为$y$次。
根据题意，得到方程：
$15x + 30y = 120 \quad (因为 2\min = 120s)$，
化简得：
$x + 2y = 8$，
同时，题目要求每种广告播放次数不少于$2$次，即：
$x ≥ 2, \quad y ≥ 2$，
解方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 8, \\x ≥ 2, \\y ≥2.\end{cases}$
得到两组
$\begin{cases}x = 4, \\y = 2.\end{cases}$
$\begin{cases}x = 2, \\y = 3.\end{cases}$
所以有两种安排方式：
$x = 4, y = 2$；
$x = 2, y = 3$。
(2) 计算每种方式的收益：
当$x = 4, y = 2$时，收益为：
$4 × 0.6 + 2 × 1 = 4.4 \mathrm{(万元)}$；
当$x = 2, y = 3$时，收益为：
$2 × 0.6 + 3 × 1 = 4.2 \mathrm{(万元)}$；
因为$4.4 ＞ 4.2$，
所以选择$x = 4, y = 2$的方式播放收益较大。

1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是()。

A.$\begin{cases}x^{2}-x - 2 = 0,\\y = x + 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{1}{x}-1 = y,\\3x + y = 0\end{cases}$
C.$\begin{cases}x - y = 1,\\xy = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}4x - y = - 1,\\y = 2x + 3\end{cases}$

D

二元一次方程组需满足：含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1。
A选项中第一个方程$x^2 - x - 2 = 0$未知数$x$的次数是2，不是一次方程，故A不是；
B选项中第一个方程$\dfrac{1}{x} - 1 = y$，$\dfrac{1}{x}$是分式，不是整式方程，故B不是；
C选项中第二个方程$xy = 2$，未知数$x$和$y$的乘积，次数是2，不是一次方程，故C不是；
D选项两个方程都含有两个未知数$x$、$y$，都是整式方程，且未知数的最高次数为1，符合二元一次方程组的定义。

2. 二元一次方程$2x - y = 11$的一个解可以是()。

A.$\begin{cases}x = 1,\\y = 9\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 4,\\y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 5,\\y = - 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 7,\\y = - 3\end{cases}$

C

将各选项代入方程$2x - y = 11$检验：
A选项：$2×1 - 9 = 2 - 9 = -7 ≠ 11$，不是解；
B选项：$2×4 - 3 = 8 - 3 = 5 ≠ 11$，不是解；
C选项：$2×5 - (-1) = 10 + 1 = 11$，是解；
D选项：$2×7 - (-3) = 14 + 3 = 17 ≠ 11$，不是解。