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9. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，分别过点$A$，$C$作$AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$，垂足分别为$E$，$F$，求证：$AC$，$EF$互相平分。
答案
9.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO.
∵ AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
∴ ∠AEO = ∠CFO = 90°. 在 △AEO 和 △CFO 中，
$\begin{cases}∠AEO = ∠CFO, \\∠EOA = ∠FOC, \\OA = OC,\end{cases}$
∴ △AEO ≌ △CFO (AAS).
∴ OE = OF.
∴ AC，EF 互相平分
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO.
∵ AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
∴ ∠AEO = ∠CFO = 90°. 在 △AEO 和 △CFO 中，
$\begin{cases}∠AEO = ∠CFO, \\∠EOA = ∠FOC, \\OA = OC,\end{cases}$
∴ △AEO ≌ △CFO (AAS).
∴ OE = OF.
∴ AC，EF 互相平分
解析
【分析】
要证明AC和EF互相平分，根据线段互相平分的定义，需证明点O是AC和EF的中点。首先，由平行四边形的性质可知对角线互相平分，即AO=CO；接着，因为AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEO=∠CFO=90°，再结合对顶角∠EOA=∠FOC，可利用AAS证明△AEO≌△CFO，从而得到OE=OF，即可说明AC和EF互相平分。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO = CO（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
∴ ∠AEO = ∠CFO = 90°。
在△AEO和△CFO中，
$\begin{cases}∠AEO = ∠CFO, \\∠EOA = ∠FOC, \\OA = OC,\end{cases}$
∴ △AEO ≌ △CFO（AAS）。
∴ OE = OF。
又
∵ AO = CO，
∴ AC，EF互相平分。
【答案】
AC，EF互相平分得证。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定（AAS）
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质与全等三角形的判定及应用，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应线段相等，进而证明两条线段互相平分，需要熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定定理，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.7
要证明AC和EF互相平分，根据线段互相平分的定义，需证明点O是AC和EF的中点。首先，由平行四边形的性质可知对角线互相平分，即AO=CO；接着，因为AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEO=∠CFO=90°，再结合对顶角∠EOA=∠FOC，可利用AAS证明△AEO≌△CFO，从而得到OE=OF，即可说明AC和EF互相平分。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO = CO（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
∴ ∠AEO = ∠CFO = 90°。
在△AEO和△CFO中，
$\begin{cases}∠AEO = ∠CFO, \\∠EOA = ∠FOC, \\OA = OC,\end{cases}$
∴ △AEO ≌ △CFO（AAS）。
∴ OE = OF。
又
∵ AO = CO，
∴ AC，EF互相平分。
【答案】
AC，EF互相平分得证。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定（AAS）
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质与全等三角形的判定及应用，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应线段相等，进而证明两条线段互相平分，需要熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定定理，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，一条动直线绕点$O$旋转，与$AD$，$BC$分别交于点$E$，$F$。
（1）$OE$与$OF$有什么数量关系？请证明你的发现。
（2）将$OE$，$OF$分别延长，交$BA$，$DC$的延长线于点$M$，$N$，$ME = NF$吗？说明理由。
（1）$OE$与$OF$有什么数量关系？请证明你的发现。
（2）将$OE$，$OF$分别延长，交$BA$，$DC$的延长线于点$M$，$N$，$ME = NF$吗？说明理由。
答案
10. OE = OF.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
∵ AD // BC，
∴ ∠OAE = ∠OCF. 在 △AEO 和 △CFO 中，
$\begin{cases}∠AOE = ∠COF, \\OA = OC, \\∠OAE = ∠OCF,\end{cases}$
∴ △AEO ≌ △CFO (ASA).
∴ OE = OF （2）ME = NF.
∵ △AEO ≌ △CFO，
∴ AE = CF. ∠AEM = ∠CFN. 在 △AME 和 △CNF 中，
$\begin{cases}∠M = ∠N, \\∠AEM = ∠CFN, \\AE = CF,\end{cases}$
∴ △AME ≌ △CNF (AAS).
∴ ME = NF
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
∵ AD // BC，
∴ ∠OAE = ∠OCF. 在 △AEO 和 △CFO 中，
$\begin{cases}∠AOE = ∠COF, \\OA = OC, \\∠OAE = ∠OCF,\end{cases}$
∴ △AEO ≌ △CFO (ASA).
∴ OE = OF （2）ME = NF.
∵ △AEO ≌ △CFO，
∴ AE = CF. ∠AEM = ∠CFN. 在 △AME 和 △CNF 中，
$\begin{cases}∠M = ∠N, \\∠AEM = ∠CFN, \\AE = CF,\end{cases}$
∴ △AME ≌ △CNF (AAS).
∴ ME = NF
解析
【分析】
（1）要判断$OE$和$OF$的数量关系，可结合平行四边形的性质分析：平行四边形对角线互相平分，可得$OA=OC$，且对边平行能推出内错角相等，再结合对顶角相等，可通过证明三角形全等得出$OE$与$OF$的关系。
（2）要判断$ME$和$NF$是否相等，可先利用第一问的全等结论得到$AE=CF$，再根据平行四边形对边平行的性质得到角的关系，进而证明相关三角形全等，从而得出$ME$与$NF$的关系。
【解析】
（1）$\boldsymbol{OE = OF}$，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$AD // BC$，
∴ $∠ OAE = ∠ OCF$，
在$△ AEO$和$△ CFO$中，
$\begin{cases}∠ AOE = ∠ COF \\OA = OC \\∠ OAE = ∠ OCF\end{cases}$
∴ $△ AEO ≌ △ CFO$（ASA），
∴ $OE = OF$。
（2）$\boldsymbol{ME = NF}$，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB // CD$，
∴ $∠ M = ∠ N$，
由（1）知$△ AEO ≌ △ CFO$，
∴ $AE = CF$，$∠ AEO = ∠ CFO$，
∴ $∠ AEM = ∠ CFN$（等角的补角相等），
在$△ AME$和$△ CNF$中，
$\begin{cases}∠ M = ∠ N \\∠ AEM = ∠ CFN \\AE = CF\end{cases}$
∴ $△ AME ≌ △ CNF$（AAS），
∴ $ME = NF$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{OE = OF}$，证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{ME = NF}$，理由见上述解析。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行四边形性质与全等三角形判定及性质的综合运用，熟练掌握平行四边形对边平行、对角线互相平分的性质，以及全等三角形的判定定理是解题核心。
【难度系数】
0.6
（1）要判断$OE$和$OF$的数量关系，可结合平行四边形的性质分析：平行四边形对角线互相平分，可得$OA=OC$，且对边平行能推出内错角相等，再结合对顶角相等，可通过证明三角形全等得出$OE$与$OF$的关系。
（2）要判断$ME$和$NF$是否相等，可先利用第一问的全等结论得到$AE=CF$，再根据平行四边形对边平行的性质得到角的关系，进而证明相关三角形全等，从而得出$ME$与$NF$的关系。
【解析】
（1）$\boldsymbol{OE = OF}$，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$AD // BC$，
∴ $∠ OAE = ∠ OCF$，
在$△ AEO$和$△ CFO$中，
$\begin{cases}∠ AOE = ∠ COF \\OA = OC \\∠ OAE = ∠ OCF\end{cases}$
∴ $△ AEO ≌ △ CFO$（ASA），
∴ $OE = OF$。
（2）$\boldsymbol{ME = NF}$，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB // CD$，
∴ $∠ M = ∠ N$，
由（1）知$△ AEO ≌ △ CFO$，
∴ $AE = CF$，$∠ AEO = ∠ CFO$，
∴ $∠ AEM = ∠ CFN$（等角的补角相等），
在$△ AME$和$△ CNF$中，
$\begin{cases}∠ M = ∠ N \\∠ AEM = ∠ CFN \\AE = CF\end{cases}$
∴ $△ AME ≌ △ CNF$（AAS），
∴ $ME = NF$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{OE = OF}$，证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{ME = NF}$，理由见上述解析。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行四边形性质与全等三角形判定及性质的综合运用，熟练掌握平行四边形对边平行、对角线互相平分的性质，以及全等三角形的判定定理是解题核心。
【难度系数】
0.6
11. 在一次数学实验活动中，小强过$A$，$C$两点画直线$AC$，把$□ ABCD$分割成两部分(图①)，小刚过$AB$，$AC$的中点画直线$EF$，把$□ ABCD$也分割成两部分(图②)；
(1)这两种分割方法中面积之间的关系为：$S_{甲}\_\_\_\_\_\_S_{乙}$，$S_{丙}\_\_\_\_\_\_S_{丁}$。
(2)能把平行四边形分割成满足以上面积关系的两部分的直线有
(1)这两种分割方法中面积之间的关系为：$S_{甲}\_\_\_\_\_\_S_{乙}$，$S_{丙}\_\_\_\_\_\_S_{丁}$。
(2)能把平行四边形分割成满足以上面积关系的两部分的直线有
无数
条。请在图③中再画出一种。答案
11. （1）=，= （2）无数. 如图，直线过点 O 即可，经过对称中心的任意直线都可以把平行四边形平分
解析
【分析】
1. 对于问题（1）的第一个空：在平行四边形$ABCD$中，$AC$是对角线，平行四边形的对角线会将其分成两个等底等高的三角形，根据三角形面积公式，等底等高的三角形面积相等，因此$S_{甲}$和$S_{乙}$面积相等。
2. 对于问题（1）的第二个空：直线$EF$经过平行四边形的对称中心，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的直线能将图形分成面积相等的两部分，所以$S_{丙}$和$S_{丁}$面积相等。
3. 对于问题（2）：平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，所有经过这个对称中心的直线都能把平行四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有无数条，画图时只需过对角线交点作任意一条直线即可。
【解析】
(1) ①在$□ ABCD$中，$AC$为对角线，$△ ABC$与$△ CDA$等底等高，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为对应高），可得$S_{△ ABC}=S_{△ CDA}$，即$S_{甲}=S_{乙}$。
②直线$EF$经过$□ ABCD$的对称中心，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的直线平分图形面积，因此$S_{丙}=S_{丁}$。
(2) 平行四边形是中心对称图形，其对称中心为对角线交点，经过该点的任意直线都能将平行四边形分成面积相等的两部分，故这样的直线有无数条。
画图步骤：连接$□ ABCD$的对角线$AC$、$BD$，交于点$O$，过点$O$作任意直线（如交$AD$于$M$，交$BC$于$N$的直线$MN$），该直线即为所求。
【答案】
(1) $=$，$=$
(2) 无数；画图：过平行四边形对角线交点作任意一条直线（画图略）
【知识点】
1. 平行四边形性质
2. 中心对称图形性质
3. 图形面积分割
【点评】
本题结合平行四边形和中心对称图形的性质，考查图形的面积分割，核心是理解“经过中心对称图形对称中心的直线平分图形面积”，需要灵活运用平行四边形的基本性质解决问题。
【难度系数】
0.7
1. 对于问题（1）的第一个空：在平行四边形$ABCD$中，$AC$是对角线，平行四边形的对角线会将其分成两个等底等高的三角形，根据三角形面积公式，等底等高的三角形面积相等，因此$S_{甲}$和$S_{乙}$面积相等。
2. 对于问题（1）的第二个空：直线$EF$经过平行四边形的对称中心，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的直线能将图形分成面积相等的两部分，所以$S_{丙}$和$S_{丁}$面积相等。
3. 对于问题（2）：平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，所有经过这个对称中心的直线都能把平行四边形分成面积相等的两部分，这样的直线有无数条，画图时只需过对角线交点作任意一条直线即可。
【解析】
(1) ①在$□ ABCD$中，$AC$为对角线，$△ ABC$与$△ CDA$等底等高，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为对应高），可得$S_{△ ABC}=S_{△ CDA}$，即$S_{甲}=S_{乙}$。
②直线$EF$经过$□ ABCD$的对称中心，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的直线平分图形面积，因此$S_{丙}=S_{丁}$。
(2) 平行四边形是中心对称图形，其对称中心为对角线交点，经过该点的任意直线都能将平行四边形分成面积相等的两部分，故这样的直线有无数条。
画图步骤：连接$□ ABCD$的对角线$AC$、$BD$，交于点$O$，过点$O$作任意直线（如交$AD$于$M$，交$BC$于$N$的直线$MN$），该直线即为所求。
【答案】
(1) $=$，$=$
(2) 无数；画图：过平行四边形对角线交点作任意一条直线（画图略）
【知识点】
1. 平行四边形性质
2. 中心对称图形性质
3. 图形面积分割
【点评】
本题结合平行四边形和中心对称图形的性质，考查图形的面积分割，核心是理解“经过中心对称图形对称中心的直线平分图形面积”，需要灵活运用平行四边形的基本性质解决问题。
【难度系数】
0.7
