例 1 (1) 当 $ k $时,关于 $ x $ 的方程 $ ( k + 1 ) x ^ { 2 } + 2 k x + k - 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(2) 已知二次函数 $ y = ( k + 1 ) x ^ { 2 } + 2 k x + k - 2 $,当 $ k $时,它的图像与 $ x $ 轴有两个公共点.
(3) 从第(1)、(2)小题中,你能得到什么启示?

＞-2且k≠-1
＞-2且k≠-1
​​​解： (3)当二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根时，​​​
​​​二次函数的图像与x轴有两个公共点。​​​

例 2 已知二次函数 $ y = - x ^ { 2 } + ( m - 2 ) x + m + 1 $.
(1) 求证:不论 $ m $ 取何值,这个二次函数的图像必与 $ x $ 轴有两个公共点.
(2) 当 $ m $ 为何值时,这个二次函数的图像与 $ y $ 轴的交点在 $ y $ 轴的负半轴上?
(3) 当 $ m $ 为何值时,这个二次函数的图像的对称轴是 $ y $ 轴?

​​​解：(1)令y=0 ，得-x²+(m-2)x+ m+1 =0​​​
​​​因为$b²-4ac=(m-2)²+ 4(m+ 1)= m²+ 8\gt 0​​​$
​​​所以一元二次方程有两个不相等的实数根​​​
​​​所以这个二次函数的图像必与x轴有两个公共点​​​
​​​(2)令x=0，得y=m+1​​​
​​​所以这个二次函数与y轴的交点为(0 ， m+1)​​​
​​​由题意得，$m+1\lt 0​​​$
​​​解得，$ m\lt -1​​​$
​​​所以当$m\lt -1$时，二次函数的图像与y轴的交点在y轴的负半轴上​​​
​​​(3)由题意得，$\frac {-(m-2)}{-2}=0​​​$
​​​解得，m=2​​​
​​​所以当m = 2时，这个二次函数的图像的对称轴是y轴​​
​

1. 二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 4 x + 3 $ 的图像与 $ x $ 轴的交点坐标为 ()

A.$ ( 1, 0 ) $, $ ( 3, 0 ) $
B.$ ( - 1, 0 ) $, $ ( - 3, 0 ) $
C.$ ( 1, 0 ) $, $ ( - 3, 0 ) $
D.$ ( - 1, 0 ) $, $ ( 3, 0 ) $

A

2. 下列二次函数中,图像与 $ x $ 轴没有公共点的是 ()

A.$ y = x ^ { 2 } + 2 x + 1 $
B.$ y = x ^ { 2 } + 2 x - 3 $
C.$ y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 $
D.$ y = x ^ { 2 } + 2 x + 3 $

D

3. 二次函数 $ y = 3 x ^ { 2 } - 2 x - 5 $ 的图像与 $ y $ 轴的交点坐标为,与 $ x $ 轴的交点坐标为.

​​​(0，-5)​​​
​​​(-1，0)和$(\frac {5}{3}，$0)​​​

4. 结合二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 3 x - 4 $ 的图像可知:若 $ m ^ { 2 } - 3 m - 4 ＜ 0 $,则 $ m $ 的取值范围为.

​​​(-1，0)和$(\frac {5}{3}，$0)​​​
​​​-1＜x＜4​​​