5. 有下列关于某个四边形的结论：① 它的对角线相等；② 它是一个正方形；③ 它是一个矩形. 下列推理过程中，正确的是()

A.由③推出①，由①推出②
B.由①推出②，由②推出③
C.由②推出③，由③推出①
D.由①推出③，由③推出②

C

正方形是特殊的矩形，所以由正方形可推出是矩形，同时也能推出对角线相等；矩形对角线相等，且是特殊的四边形（对角线相等的平行四边形才是矩形），而仅知道对角线相等不能直接推出是矩形或正方形，只有相互的逻辑推理关系为：由正方形（②）可以推出是矩形（③），由矩形（③）可以推出对角线相等（①）。

6. 如图，在边长为 $ 2 $ 的正方形 $ ABCD $ 中，$ E $，$ F $ 分别是 $ BC $，$ CD $ 上的动点，连接 $ AF $，$ EF $，$ M $，$ N $ 分别是 $ EF $，$ AF $ 的中点，连接 $ MN $，则 $ MN $ 长的最大值为()


A.$ 1 $
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \dfrac{3}{2} $
D.$ \sqrt{3} $

B

连接AE，在△AFE中，M、N分别是EF、AF的中点，根据三角形中位线定理，MN=1/2AE。要使MN最大，需使AE最大。在正方形ABCD中，A为定点，E是BC上动点，当E与C重合时，AE最长，此时AE为正方形对角线，长度为√(2²+2²)=2√2。故MN最大值为1/2×2√2=√2。

7. 若一个多边形的内角和是 $ 1260^{\circ} $，则这个多边形是边形.

设这个多边形是$n$边形，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，可得方程：
$(n - 2)×180 = 1260$
$n - 2 = 1260÷180$
$n - 2 = 7$
$n = 9$
九

8. 如图，$ CD $ 为 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 的斜边 $ AB $ 上的中线，$ E $ 为 $ AC $ 的中点，连接 $ DE $. 若 $ AC = 8 $，$ CD = 5 $，则 $ DE $ 的长为.

3

9. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD = BC $，$ AC ⊥ BD $ 于点 $ O $. 请添加一个条件：，使四边形 $ ABCD $ 成为菱形.

$AD // BC$（答案不唯一，也可添加 $AB = AD$ 等条件）

添加条件：$AD // BC$
证明：
1. 因为 $AD // BC$ 且 $AD = BC$，所以四边形 $ABCD$ 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
2. 因为 $AC ⊥ BD$，所以平行四边形 $ABCD$ 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

10. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 5 $，$ AD = 12 $，点 $ P $ 在对角线 $ BD $ 上，且 $ BP = BA $，连接 $ AP $ 并延长，交 $ DC $ 的延长线于点 $ Q $，连接 $ BQ $，则 $ BQ $ 的长为.

在矩形$ABCD$中，$AB=5$，$AD=12$，$∠ BAD=90°$。
1. 求对角线$BD$的长：
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$。
2. 确定$BP$和$PD$的长：
已知$BP=BA=5$，则$PD=BD-BP=13-5=8$。
3. 证明$△ ABP ∼ △ QDP$并求$DQ$：
因为$AB // CD$（矩形对边平行），所以$∠ BAP=∠ DQP$，$∠ APB=∠ QPD$（对顶角相等），故$△ ABP ∼ △ QDP$（AA相似）。
由相似比得：$\frac{AB}{QD}=\frac{BP}{DP}$，即$\frac{5}{QD}=\frac{5}{8}$，解得$QD=8$。
4. 求$CQ$的长：
因为$CD=AB=5$，所以$CQ=DQ-CD=8-5=3$。
5. 求$BQ$的长：
在$Rt△ BCQ$中，$BC=AD=12$，$CQ=3$，由勾股定理得：
$BQ=\sqrt{BC^2+CQ^2}=\sqrt{12^2+3^2}=\sqrt{144+9}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}$。
$3\sqrt{17}$