例 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC，垂足为 D，AN 是△BAC 的外角∠CAM 的平分线，CE ⊥ AN，垂足为 E，连接 DE 交 AC 于点 F.

(1) 求证：DF // AB，DF = $\frac{1}{2}$AB.
(2) 当△ABC 是时，四边形 ADCE 为正方形.
分析：(1) 根据已知条件可得 AD 平分∠BAC. 然后根据 AE 是△ABC 的外角平分线，可求出 AN // BC，进而得四边形 ADCE 为矩形，F 是 AC 的中点. 由 AB = AC，AD 平分∠BAC 可知 D 是 BC 的中点，故 DF 是△ABC 的中位线，即 DF // AB，DF = $\frac{1}{2}$AB.
(2) 根据矩形的性质可知当△ABC 是等腰直角三角形时，∠5 = ∠2 = 45°，利用等腰三角形的性质定理可知 AD = CD. 再运用邻边相等的矩形是正方形来证明.
解：(1) ∵ AB = AC，AD ⊥ BC，垂足为 D，∴ AD 平分∠BAC，∠B = ∠5. ∴ ∠1 = ∠2. ∵ AE 是△ABC 的外角平分线，∴ ∠3 = ∠4. ∵ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°，∴ ∠2 + ∠3 = 90°，即∠DAE = 90°. 又∵ AD ⊥ BC，∴ ∠ADC = 90°. 又∵ CE ⊥ AE，∴ ∠AEC = 90°. ∴ 四边形 ADCE 是矩形. ∴ AF = CF = $\frac{1}{2}$AC. ∵ AB = AC，AD 平分∠BAC，∴ BD = CD = $\frac{1}{2}$BC. ∴ DF 是△ABC 的中位线，即 DF // AB，DF = $\frac{1}{2}$AB.
(2) 当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形 ADCE 为正方形. ∵ 在等腰直角三角形 ABC 中，AD 平分∠BAC，∴ ∠5 = ∠2 = ∠3 = 45°. ∴ AD = CD. 又∵ 四边形 ADCE 是矩形，∴ 矩形 ADCE 为正方形.

(1) 证明：
∵ AB = AC，AD ⊥ BC，垂足为 D，
∴ AD 平分∠BAC，BD = CD，∠ADC = 90°，
∴ ∠1 = ∠2.
∵ AN 是△BAC 的外角∠CAM 的平分线，
∴ ∠3 = ∠4.
∵ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°，
∴ ∠2 + ∠3 = 90°，即∠DAE = 90°.
∵ CE ⊥ AN，
∴ ∠AEC = 90°.
∴ 四边形 ADCE 是矩形，
∴ AF = CF = $\frac{1}{2}$AC.
又∵ BD = CD，
∴ DF 是△ABC 的中位线，
∴ DF // AB，DF = $\frac{1}{2}$AB.
(2) 解：等腰直角三角形
∵ △ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，AD⊥BC，
∴ ∠ACB = ∠2 = 45°，
∴ AD = CD.
又∵ 四边形 ADCE 是矩形，
∴ 矩形 ADCE 为正方形.