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8. 如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC = 110°，则∠A的度数为(
A.50°
B.40°
C.70°
D.35°
B
)。A.50°
B.40°
C.70°
D.35°
答案
8. B
9. 将一副三角尺叠在一起按如图所示的方式放置，三角尺DEF最小锐角的顶点D恰好放在三角尺ABC的斜边AB上，BC与DE交于点M。若∠ADF = 100°，则∠BMD =
$85°$
。答案
9. $85°$
10. 如图，∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 =
$360°$
。答案
10. $360°$
11. 在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC = 50°，∠CAD = 20°，则∠BAC的度数为
$20°$或$60°$
。答案
11. $20°$或$60°$
提示:分两种情况讨论(如图①②)。
12. 如图，AB//DC，E是BC上一点，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：AE⊥ED。
答案
12. 证明:在$△ ABE$中,$∠ 1+∠ 2+∠ B=180°$,
在$△ CED$中,$∠ 3+∠ 4+∠ C=180°$,
$\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ B+∠ 3+∠ 4+∠ C=360°$。
$\because AB// DC$,
$\therefore ∠ B+∠ C=180°$,
$\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=180°$。
又$\because ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$,
$\therefore ∠ 2+∠ 3=90°$。
$\because ∠ AED+∠ 2+∠ 3=180°$,
$\therefore ∠ AED=180°-90°=90°$,
即$AE⊥ ED$。
在$△ CED$中,$∠ 3+∠ 4+∠ C=180°$,
$\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ B+∠ 3+∠ 4+∠ C=360°$。
$\because AB// DC$,
$\therefore ∠ B+∠ C=180°$,
$\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=180°$。
又$\because ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$,
$\therefore ∠ 2+∠ 3=90°$。
$\because ∠ AED+∠ 2+∠ 3=180°$,
$\therefore ∠ AED=180°-90°=90°$,
即$AE⊥ ED$。
13. 【综合与实践】【问题情境】
如图①，将一块含30°角的三角尺PMN放置在△ABC上(点P在△ABC内)，使三角尺PMN的两条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C。
∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
【特殊探究】
(1)若∠A = 50°，则∠ABC + ∠ACB =
【类比探索】
(2)请探究∠ABP + ∠ACP与∠A的关系。
【类比延伸】
(3)如图②，改变三角尺PMN的位置，使点P在△ABC外，三角尺PMN的两条直角边PM，PN仍然分别经过点B和点C，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的结论并说明理由。
如图①，将一块含30°角的三角尺PMN放置在△ABC上(点P在△ABC内)，使三角尺PMN的两条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C。
∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
【特殊探究】
(1)若∠A = 50°，则∠ABC + ∠ACB =
$130°$
，∠PBC + ∠PCB =$90°$
，∠ABP + ∠ACP =$40°$
。【类比探索】
(2)请探究∠ABP + ∠ACP与∠A的关系。
【类比延伸】
(3)如图②，改变三角尺PMN的位置，使点P在△ABC外，三角尺PMN的两条直角边PM，PN仍然分别经过点B和点C，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的结论并说明理由。
答案
13. (1)$130°$ $90°$ $40°$
解析:$\because ∠ A=50°$,
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-50°=130°$。
$\because ∠ P=90°$,
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=90°$,
$\therefore ∠ ABP+∠ ACP=130°-90°=40°$。
(2)解:结论:$∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$。
$\because 90°+(∠ ABP+∠ ACP)+∠ A=180°$,
$\therefore ∠ ABP+∠ ACP+∠ A=90°$,
$\therefore ∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$。
(3)解:不成立,结论:$∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A$。理由如下:
在$△ ABC$中,$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$,
$\because ∠ MPN=90°$,
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=90°$,
$\therefore (∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-∠ A-90°$,
即$∠ ABC+∠ ACP+∠ PCB-∠ ABP-∠ ABC-∠ PCB=90°-∠ A$,
$\therefore ∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A$。
解析:$\because ∠ A=50°$,
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-50°=130°$。
$\because ∠ P=90°$,
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=90°$,
$\therefore ∠ ABP+∠ ACP=130°-90°=40°$。
(2)解:结论:$∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$。
$\because 90°+(∠ ABP+∠ ACP)+∠ A=180°$,
$\therefore ∠ ABP+∠ ACP+∠ A=90°$,
$\therefore ∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$。
(3)解:不成立,结论:$∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A$。理由如下:
在$△ ABC$中,$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$,
$\because ∠ MPN=90°$,
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=90°$,
$\therefore (∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-∠ A-90°$,
即$∠ ABC+∠ ACP+∠ PCB-∠ ABP-∠ ABC-∠ PCB=90°-∠ A$,
$\therefore ∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A$。
