24.1.2 中位数和众数(课时 2)
新知梳理
1. 一组数据中的数据称为这组数据的众数.
2. 平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的.
思考 一组数据的众数是否是唯一的?

1. 出现次数最多
2. 集中趋势
思考：一组数据的众数不一定是唯一的。例如数据$1$，$2$，$2$，$3$，$3$，这组数据中$2$和$3$出现的次数都最多，所以众数是$2$和$3$，有两个众数。

填空 已知一组数据:2,2,3,x,4,6,6 的众数是 2,则 x =.

$2$

已知数据组为 $2, 2, 3, x, 4, 6, 6$，且众数为 $2$。
根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数。
为了使 $2$ 成为众数，$2$ 的出现次数必须最多。
在当前数据组中，$2$ 已经出现了 $2$ 次，$6$ 出现了$2$ 次，为了使 $2$ 的出现次数严格多于其他数，$x$ 必须等于 $2$，这样 $2$ 的出现次数会增加到 $3$ 次。
如果 $x$ 不等于 $2$，则 $2$ 的出现次数不会超过$2$次，而由于 $6$也出现了 $2$ 次，那么这组数据将没有众数（或者如果有多个数出现次数相同且最多，则这些数都是众数，但题目要求众数为 $2$），这与题目条件矛盾。
因此，为了使 $2$ 是这组数据的唯一众数，$x$ 必须等于 $2$。

例 1 某品牌空调专卖店 3 月和 4 月各种规格空调的销售台数如下表所示:

(1)商店出售的各种规格的空调中,众数是多少?
(2)假如你是经理,6 月份要进货,在资金有限的情况下将如何安排?

(1) 从表格数据来看，1.2P 规格的空调在 3 月销售 20 台，4 月销售 30 台，销售量最多。
所以众数是 1.2P。
(2) 根据前两个月的销售历史，1.2P 规格的空调销售量最好，1P 规格的空调销售量次之，1.5P 和 2P 规格的空调销售量相对较少。
在资金有限的情况下，应多进 1.2P 的空调，其次是 1P 的空调，少进 1.5P 和 2P 的空调。

变式训练 某班 50 名学生的一次安全知识竞赛成绩分布如下表所示:

这次竞赛成绩的众数是()
A.15
B.6
C.9
D.10

C

众数是一组数据中出现次数最多的数据。根据表格，成绩为9分的学生有19人，这是所有成绩中出现次数最多的。
所以这次竞赛成绩的众数是9。

例 2 某公司的 33 名职工的月收入(单位:元)如下:

(1)求该公司职工月收入的平均数、中位数、众数;(精确到元)
(2)若董事长的月收入从 18 000 元提升到 30 000 元,董事的月收入从 15 000 元提升到 20 000 元,那么新的平均数、中位数、众数是多少? (精确到元)
(3)你认为应该使用平均数、中位数和众数中的哪一个来描述该公司职工的一般收入水平?

(1)
平均数：
$\bar{x}=\frac{1×18000+3×15000+4×8000+5×6000+20×4000}{1 + 3+4+5+20}$
$=\frac{18000+45000+32000+30000+80000}{33}$
$=\frac{205000}{33}\approx6212$（元）
将33个数据从小到大排列，第17个数为中位数，由图可知第17个数是4000元，即中位数为4000元。
4000元出现了20次，出现的次数最多，所以众数是4000元。
(2)
新的平均数：
$\bar{x}=\frac{1×30000+3×20000+4×8000+5×6000+20×4000}{1 + 3+4+5+20}$
$=\frac{30000+60000+32000+30000+80000}{33}$
$=\frac{232000}{33}\approx7030$（元）
数据排列顺序不变，中位数仍为第17个数4000元。
众数还是出现次数最多的4000元。
(3)
中位数或众数，因为平均数受极端值（董事长和董事的高收入）影响较大，不能代表该公司职工的一般收入水平，而中位数和众数能更好地反映数据的集中趋势。

变式训练 某中学开展以“航天梦·中国梦”为主题的演讲比赛. 赛后,从七、八年级中各随机抽取 20 名学生的比赛成绩(比赛成绩均为整数,8 分及 8 分以上为优秀)进行整理和分析,得到如下统计表.
表一 七、八年级部分学生比赛成绩统计表

表二 七、八年级部分学生比赛成绩数据分析表

根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:a =,b =,c =;
(2)若该校七、八年级共有学生 500 名,估计七、八年级在本次比赛中成绩在 9 分及 9 分以上的共有多少人;
(3)根据表二中的数据分析,你认为哪个年级的学生在本次比赛中成绩较好? 说明理由.

(1)8，7.5，7；(2)125；(3)七年级，理由见解析。

(1) 七年级成绩排序后，第10和11个数据均为8，故中位数$a=8$；八年级成绩排序后，第10个数据为7，第11个数据为8，中位数$b=(7+8)÷2=7.5$；八年级7分出现6次，次数最多，众数$c=7$。
(2) 七年级9分及以上人数占比：$(3+2)÷20=25\%$；八年级9分及以上人数占比：$(4+1)÷20=25\%$；总人数500名，估计人数：$500×25\%=125$人。
(3) 七年级成绩较好，因中位数、众数、优秀率均高于八年级，平均数相同。