6. 用配方法解方程：$2x(x-\sqrt{3})+1 = x^{2}$。

6. $ x_{1}=\sqrt{3}+\sqrt{2} $，$ x_{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2} $

解：$2x(x-\sqrt{3})+1 = x^{2}$
$2x^{2}-2\sqrt{3}x+1=x^{2}$
$x^{2}-2\sqrt{3}x+1=0$
$x^{2}-2\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^{2}=-1+(\sqrt{3})^{2}$
$(x-\sqrt{3})^{2}=2$
$x-\sqrt{3}=\pm\sqrt{2}$
$x_{1}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

7. 已知一元二次方程 $9x^{2}-(m - 3)x + 4 = 0$ 等号左边的多项式可以写成一个完全平方式，请写出所有符合条件的常数 $m$ 的值。

7. 因为 $ 9x^{2}-(m-3)x+4=(3x)^{2}\pm2×3x×2+2^{2} $，所以 $ -(m-3)=\pm12 $，解得 $ m=-9 $ 或 $ m=15 $。

解：因为$9x^{2}-(m - 3)x + 4=(3x)^{2}\pm2×3x×2+2^{2}$，所以$-(m - 3)=\pm12$。
当$-(m - 3)=12$时，$m - 3=-12$，解得$m=-9$；
当$-(m - 3)=-12$时，$m - 3=12$，解得$m=15$。
综上，$m=-9$或$m=15$。

8. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题。
例：求代数式 $y^{2}+4y + 6$ 的最小值。
解：$y^{2}+4y + 6 = y^{2}+4y + 4 + 2=(y + 2)^{2}+2$。
因为 $(y + 2)^{2}≥0$，所以 $(y + 2)^{2}+2≥2$，所以 $y^{2}+4y + 6$ 的最小值是 $2$。
（1）求代数式 $a^{2}+2a + 2$ 的最小值。
（2）求代数式 $3 - m^{2}+2m$ 的最大值。
（3）某居民小区要建一个长方形花园 $ABCD$，花园一边靠墙（墙足够长），另三边由总长为 $20\ m$ 的材料围成。如图，设 $AB = x(\mathrm{m})$，问：当 $x$ 取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

8. (1) 1 (2) 4
(3) $ S=x(20-2x)=-2(x-5)^{2}+50≤50 $，所以当 $ x=5m $ 时，花园的面积最大，最大面积是 $ 50m^{2} $。