1. 在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为$x(0＜x＜2)$的小正方形,如果设剩余部分的面积为$y$,那么$y关于x$的函数表达式是 ( )
A.$y= x^{2}$
B.$y= 4-x^{2}$
C.$y= x^{2}-4$
D.$y= 4-2x$
A.$y= x^{2}$
B.$y= 4-x^{2}$
C.$y= x^{2}-4$
D.$y= 4-2x$
答案
B
解析
大正方形面积为$2^2 = 4$，小正方形面积为$x^2$，剩余部分面积$y = 4 - x^2$。
B
B
2. 如图,某中学教学楼前喷水池喷出的水柱为抛物线形,其函数表达式为$y= -(x-2)^{2}+6$,则水柱的最大高度是 ( )
A.2
B.4
C.6
D.$2+\sqrt{6}$
A.2
B.4
C.6
D.$2+\sqrt{6}$
答案
C
解析
解：对于抛物线$y=-(x-2)^{2}+6$，
因为二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，
所以当$x=2$时，$y$取得最大值，
最大值为$6$，即水柱的最大高度是$6$。
C
因为二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，
所以当$x=2$时，$y$取得最大值，
最大值为$6$，即水柱的最大高度是$6$。
C
3. 如图,这是一个二次函数的图象$(0\leq x\leq3)$,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )
A.有最小值0,有最大值3
B.有最小值0,有最大值4
C.有最小值1,有最大值3
D.无最小值,有最大值4
A.有最小值0,有最大值3
B.有最小值0,有最大值4
C.有最小值1,有最大值3
D.无最小值,有最大值4
答案
B
解析
解：由图可知，二次函数图象在$0\leq x\leq3$范围内，顶点坐标为$(1,4)$，此时函数取得最大值$4$；当$x=3$时，函数值为$0$，此时函数取得最小值$0$。
B
B
4. 某烟花厂特别设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度$h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h= -\frac{5}{2}t^{2}+20t+1$。若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,从点火升空到引爆需要的时间为 ( )
A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
答案
B
解析
对于二次函数$h = -\frac{5}{2}t^{2}+20t + 1$，其中$a=-\frac{5}{2}$，$b = 20$。
因为$a=-\frac{5}{2}＜0$，所以抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴公式为$t=-\frac{b}{2a}$，将$a=-\frac{5}{2}$，$b = 20$代入可得：
$t=-\frac{20}{2×(-\frac{5}{2})}=-\frac{20}{-5}=4$
所以从点火升空到引爆需要的时间为$4s$。
B
因为$a=-\frac{5}{2}＜0$，所以抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴公式为$t=-\frac{b}{2a}$，将$a=-\frac{5}{2}$，$b = 20$代入可得：
$t=-\frac{20}{2×(-\frac{5}{2})}=-\frac{20}{-5}=4$
所以从点火升空到引爆需要的时间为$4s$。
B
5. 如图,这是二次函数$y= -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$的图象,当$-1\leq x\leq0$时,该函数的最大值是 ( )
A.3.125
B.4
C.2
D.0
A.3.125
B.4
C.2
D.0
答案
C
解析
解：二次函数$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{3}{2}}{2×(-\frac{1}{2})}=\frac{3}{2}$。
因为$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大。
当$-1\leq x\leq0$时，$x$在对称轴左侧，$x=0$时，$y$取得最大值，$y=-\frac{1}{2}×0^{2}+\frac{3}{2}×0+2=2$。
C
因为$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大。
当$-1\leq x\leq0$时，$x$在对称轴左侧，$x=0$时，$y$取得最大值，$y=-\frac{1}{2}×0^{2}+\frac{3}{2}×0+2=2$。
C
6. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下表：
|温度$t/^{\circ}C$|-4|-2|0|1|4|
|植物高度增长量$l/mm$|41|49|49|46|25|
科学家推测出$l与t$之间是二次函数关系。由此可以推测出最适合这种植物生长的温度为______$^{\circ}C$。
|温度$t/^{\circ}C$|-4|-2|0|1|4|
|植物高度增长量$l/mm$|41|49|49|46|25|
科学家推测出$l与t$之间是二次函数关系。由此可以推测出最适合这种植物生长的温度为______$^{\circ}C$。
答案
-1
解析
解：设二次函数解析式为$l=at^{2}+bt+c$。
将$(-2,49)$，$(0,49)$，$(4,25)$代入得：
$\begin{cases}4a - 2b + c = 49 \\c = 49 \\16a + 4b + c = 25\end{cases}$
解得$a=-1$，$b=-2$，$c=49$，即$l=-t^{2}-2t+49$。
对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$。
$-1$
将$(-2,49)$，$(0,49)$，$(4,25)$代入得：
$\begin{cases}4a - 2b + c = 49 \\c = 49 \\16a + 4b + c = 25\end{cases}$
解得$a=-1$，$b=-2$，$c=49$，即$l=-t^{2}-2t+49$。
对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$。
$-1$
7. 用一根长为20 cm的铁丝围成一个矩形,该矩形面积的最大值是______$cm^{2}$。
答案
25
解析
设矩形的长为$x\ cm$，则宽为$\frac{20 - 2x}{2}=(10 - x)\ cm$，面积为$S\ cm^2$。
$S = x(10 - x)= -x^2 + 10x$
$a = -1$，$b = 10$，$c = 0$
当$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)} = 5$时，$S$有最大值。
$S_{max}= -5^2 + 10×5 = 25$
25
$S = x(10 - x)= -x^2 + 10x$
$a = -1$，$b = 10$，$c = 0$
当$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)} = 5$时，$S$有最大值。
$S_{max}= -5^2 + 10×5 = 25$
25
8. 已知二次函数$y= x^{2}$,当$-1\leq x\leq2$时,求函数$y$的最小值和最大值。
答案
解：
∵y=x²，
∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，
∵-1≤x≤2，
∴当x=0时取得最小值，最小值是0，当x=2时取得最大值，此时y=4.综上可得，当-1≤x≤2时，函数y的最小值是0，最大值是4.
∵y=x²，
∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，
∵-1≤x≤2，
∴当x=0时取得最小值，最小值是0，当x=2时取得最大值，此时y=4.综上可得，当-1≤x≤2时，函数y的最小值是0，最大值是4.
