【例 1】在课外兴趣小组活动中，小伟裁剪了 16 张一样大小的长方形硬纸片，小强用其中的 8 张恰好拼成一个大的长方形；小红用另外的 8 张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为 $2$ cm 的正方形（如图所示的阴影方格）。那么小伟裁剪的长方形硬纸片的长与宽分别是多少厘米？

长10 cm，宽4 cm。

设长方形硬纸片的长为$x$ cm，宽为$y$ cm。
分析小强的拼图：
8张长方形拼成一个大长方形，由拼图特征可知，大长方形的长由5个小长方形的宽组成，宽由2个小长方形的长组成，即$5y = 2x$。
分析小红的拼图：
8张长方形拼成一个大正方形，中间留边长为2 cm的小正方形，由拼图特征可知，大正方形的边长等于小长方形的长加上2个小长方形的宽，且大正方形边长也等于2个小长方形的长减去2 cm，即$x + 2y = 2x - 2$，化简得$x - 2y = 2$。
联立方程求解：
$\begin{cases}5y = 2x \\x - 2y = 2\end{cases}$
由$5y = 2x$得$x = \frac{5}{2}y$，代入$x - 2y = 2$：
$\frac{5}{2}y - 2y = 2 \implies \frac{1}{2}y = 2 \implies y = 4$
将$y = 4$代入$x = \frac{5}{2}y$，得$x = 10$。
结论：
长方形硬纸片的长为10 cm，宽为4 cm。

【变式 1】在如图所示的长方形中放置了 8 个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为。

45

设小长方形的长为$x$，宽为$y$。由题意得$\begin{cases}x - y = 9 \\ x + 3y = 17\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 11 \\ y = 2\end{cases}$。大长方形的宽为$x + y = 13$，面积为$17×13 = 221$。8个小长方形面积为$8×11×2 = 176$。阴影面积为$221 - 176 = 45$。

【变式 2】某种药品包装盒的侧面展开图如图所示，如果盒子的长比宽多 $4$ cm，求这种药品包装盒的体积。

设宽为$ x \, \mathrm{cm} $，则长为$ (x + 4) \, \mathrm{cm} $，高为$ y \, \mathrm{cm} $。
根据展开图可得方程组：
$\begin{cases}x + 4 + y = 13 \\2x + y = 14\end{cases}$
由第一个方程得：$ y = 13 - (x + 4) = 9 - x $。
代入第二个方程：$ 2x + (9 - x) = 14 $，解得$ x = 5 $。
则宽$ x = 5 \, \mathrm{cm} $，长$ x + 4 = 9 \, \mathrm{cm} $，高$ y = 9 - 5 = 4 \, \mathrm{cm} $。
体积$ V = 长 × 宽 × 高 = 9 × 5 × 4 = 180 \, \mathrm{cm}^3 $。
答：这种药品包装盒的体积为$ 180 \, \mathrm{cm}^3 $。

【例 2】有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 $5$，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是 $143$。求这个两位数。

设这个两位数十位上的数字为$x$，则个位上的数字为$x + 5$。
原数可以表示为：$10x + (x + 5) = 11x + 5$。
将两个数字的位置对换后，新的两位数为：$10(x + 5) + x = 11x + 50$。
根据题意，新数与原数的和为143，即：
$11x + 5 + 11x + 50 = 143$，
$22x + 55 = 143$，
$22x = 88$，
$x = 4$。
将$x = 4$代入$x + 5$，得到个位上的数字为9。
因此，这个两位数为$49$。