登录
14. 根据要求，解答下列问题：
(1) 解下列方程组(直接写出方程组的解即可)：
① $\begin{cases}x + 2y = 3,\\2x + y = 3\end{cases}$的解为 ______ ，
② $\begin{cases}3x + 2y = 10,\\2x + 3y = 10\end{cases}$的解为 ______ ，
③ $\begin{cases}2x - y = 4,\\-x + 2y = 4\end{cases}$的解为 ______ ；
(2) 以上每个方程组的解中，$x$值与$y$值的大小关系为；
(3) 请你构造一个具有以上结构特征的方程组，并直接写出它的解。
(1) 解下列方程组(直接写出方程组的解即可)：
① $\begin{cases}x + 2y = 3,\\2x + y = 3\end{cases}$的解为 ______ ，
② $\begin{cases}3x + 2y = 10,\\2x + 3y = 10\end{cases}$的解为 ______ ，
③ $\begin{cases}2x - y = 4,\\-x + 2y = 4\end{cases}$的解为 ______ ；
(2) 以上每个方程组的解中，$x$值与$y$值的大小关系为；
(3) 请你构造一个具有以上结构特征的方程组，并直接写出它的解。
答案
14. (1)①$\begin{cases}x = 1,\\y = 1.\end{cases}$ ②$\begin{cases}x = 2,\\y = 2.\end{cases}$ ③$\begin{cases}x = 4,\\y = 4.\end{cases}$
(2)相等
(3)略
(2)相等
(3)略
解析
【解析】
(1)①对于方程组$\begin{cases}x + 2y = 3,\\2x + y = 3\end{cases}$，利用加减消元法，两式相加得$3x+3y=6$，即$x+y=2$，代入求解得$\begin{cases}x = 1,\\y = 1.\end{cases}$；
②对于方程组$\begin{cases}3x + 2y = 10,\\2x + 3y = 10\end{cases}$，两式相加得$5x+5y=20$，即$x+y=4$，代入求解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 2.\end{cases}$；
③对于方程组$\begin{cases}2x - y = 4,\\-x + 2y = 4\end{cases}$，两式相加得$x+y=8$，代入求解得$\begin{cases}x = 4,\\y = 4.\end{cases}$；
(2)观察上述方程组的解，可得出$x$值与$y$值的大小关系；
(3)构造满足“两个方程中$x$、$y$的系数交换（或成对称形式），常数项相同”的方程组即可。
【答案】
(1)①$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$；②$\begin{cases}x = 2,\\y = 2\end{cases}$；③$\begin{cases}x = 4,\\y = 4\end{cases}$
(2)$x=y$
(3)示例：$\begin{cases}4x + 3y = 21,\\3x + 4y = 21\end{cases}$，解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 3\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程组的解法，规律探究
【点评】
本题通过求解特殊二元一次方程组，总结解的规律并构造新方程组，考查了学生对二元一次方程组解法的掌握及归纳探究能力，注重规律的发现与应用。
【难度系数】
0.7
(1)①对于方程组$\begin{cases}x + 2y = 3,\\2x + y = 3\end{cases}$，利用加减消元法，两式相加得$3x+3y=6$，即$x+y=2$，代入求解得$\begin{cases}x = 1,\\y = 1.\end{cases}$；
②对于方程组$\begin{cases}3x + 2y = 10,\\2x + 3y = 10\end{cases}$，两式相加得$5x+5y=20$，即$x+y=4$，代入求解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 2.\end{cases}$；
③对于方程组$\begin{cases}2x - y = 4,\\-x + 2y = 4\end{cases}$，两式相加得$x+y=8$，代入求解得$\begin{cases}x = 4,\\y = 4.\end{cases}$；
(2)观察上述方程组的解，可得出$x$值与$y$值的大小关系；
(3)构造满足“两个方程中$x$、$y$的系数交换（或成对称形式），常数项相同”的方程组即可。
【答案】
(1)①$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$；②$\begin{cases}x = 2,\\y = 2\end{cases}$；③$\begin{cases}x = 4,\\y = 4\end{cases}$
(2)$x=y$
(3)示例：$\begin{cases}4x + 3y = 21,\\3x + 4y = 21\end{cases}$，解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 3\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程组的解法，规律探究
【点评】
本题通过求解特殊二元一次方程组，总结解的规律并构造新方程组，考查了学生对二元一次方程组解法的掌握及归纳探究能力，注重规律的发现与应用。
【难度系数】
0.7
15. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax - my = 16,\\bx + ny = 15\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 7,\\y = - 1,\end{cases}$那么关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a(2x + y) + m(x - y) = 32,\\b(2x + y) - n(x - y) = 30\end{cases}$的解是 ______ 。
答案
15.$\begin{cases}x = \dfrac{16}{3},\\y = \dfrac{10}{3}.\end{cases}$
解析
【解析】
观察两个方程组的结构，将第二个方程组变形，与已知解的方程组建立联系：
把第二个方程组两边同时除以2，可得：
$\begin{cases}a·\dfrac{2x+y}{2} - m·\dfrac{y - x}{2} = 16,\\b·\dfrac{2x+y}{2} + n·\dfrac{y - x}{2} = 15\end{cases}$
对比已知方程组$\begin{cases}ax - my = 16,\\bx + ny = 15\end{cases}$的解$\begin{cases}x = 7,\\y = - 1\end{cases}$，可令：
$\begin{cases}\dfrac{2x+y}{2} = 7,\\\dfrac{y - x}{2} = -1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2x + y = 14,\\y - x = -2\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：
$2x + y - (y - x) = 14 - (-2)$
$3x = 16$
解得$x = \dfrac{16}{3}$
将$x = \dfrac{16}{3}$代入$y - x = -2$，得：
$y = \dfrac{16}{3} - 2 = \dfrac{10}{3}$
故所求方程组的解为$\begin{cases}x = \dfrac{16}{3},\\y = \dfrac{10}{3}\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x = \dfrac{16}{3},\\y = \dfrac{10}{3}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，换元法解方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的定义及换元法的应用，关键是通过变形将未知方程组与已知解的方程组建立联系，利用整体思想求解，考查了学生的观察与转化能力。
【难度系数】
0.3
观察两个方程组的结构，将第二个方程组变形，与已知解的方程组建立联系：
把第二个方程组两边同时除以2，可得：
$\begin{cases}a·\dfrac{2x+y}{2} - m·\dfrac{y - x}{2} = 16,\\b·\dfrac{2x+y}{2} + n·\dfrac{y - x}{2} = 15\end{cases}$
对比已知方程组$\begin{cases}ax - my = 16,\\bx + ny = 15\end{cases}$的解$\begin{cases}x = 7,\\y = - 1\end{cases}$，可令：
$\begin{cases}\dfrac{2x+y}{2} = 7,\\\dfrac{y - x}{2} = -1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2x + y = 14,\\y - x = -2\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：
$2x + y - (y - x) = 14 - (-2)$
$3x = 16$
解得$x = \dfrac{16}{3}$
将$x = \dfrac{16}{3}$代入$y - x = -2$，得：
$y = \dfrac{16}{3} - 2 = \dfrac{10}{3}$
故所求方程组的解为$\begin{cases}x = \dfrac{16}{3},\\y = \dfrac{10}{3}\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x = \dfrac{16}{3},\\y = \dfrac{10}{3}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，换元法解方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的定义及换元法的应用，关键是通过变形将未知方程组与已知解的方程组建立联系，利用整体思想求解，考查了学生的观察与转化能力。
【难度系数】
0.3
