4. 若分式$\frac{x^2}{x - 1}□\frac{x}{x - 1}$的运算结果为$x$，则在“$□$”中添加的运算符号为()

A.$+$
B.$×$
C.$-$或$÷$
D.$+$或$×$

C

分别计算各运算符号的结果：
1. 加法：$\frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{x-1}=\frac{x(x+1)}{x-1}≠ x$；
2. 减法：$\frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x$（$x≠1$，分母不为0，约分成立）；
3. 乘法：$\frac{x^2}{x-1}×\frac{x}{x-1}=\frac{x^3}{(x-1)^2}≠ x$；
4. 除法：$\frac{x^2}{x-1}÷\frac{x}{x-1}=\frac{x^2}{x-1}×\frac{x-1}{x}=x$（$x≠1$，分母不为0，约分成立）。
综上，运算符号为“-”或“÷”时结果为$x$。

▲5. 已知实数$a$，$b$，$c$满足$a + b = ab = c$，给出下列结论：①若$c≠0$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$；②若$a = 3$，则$b + c = 9$；③若$a = b = c$，则$abc = 0$；④若$a$，$b$，$c$中只有两个数相等，则$a + b + c = 8$。其中正确的是(填序号)。

①③④

1. 分析①：若$c≠0$，则$ab≠0$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$，由$a+b=ab$，代入得$\frac{ab}{ab}=1$，故①正确；
2. 分析②：若$a=3$，代入$a+b=ab$得$3+b=3b$，解得$b=\frac{3}{2}$，$c=ab=\frac{9}{2}$，$b+c=6≠9$，故②错误；
3. 分析③：若$a=b=c$，则$2a=a^2$，解得$a=0$或$a=2$；$a=2$时$c=4≠a$，不符合条件，故$a=b=c=0$，$abc=0$，故③正确；
4. 分析④：若$a,b,c$中只有两个数相等：
$a=b≠c$时，$2a=a^2$，得$a=2$（$a=0$舍去，因三数相等），$b=2$，$c=4$，$a+b+c=8$；
$a=c≠b$或$b=c≠a$时，均得三数相等，舍去；故④正确。

6. 已知$A=\frac{x}{x^2 - y^2}$，$B=\frac{y}{y^2 - x^2}$。若$A + B = 2$，$A - B = - 1$，求$x$，$y$的值。

解：
因为$x^2 - y^2 = -(y^2 - x^2)$，所以$B = \frac{y}{y^2 - x^2} = -\frac{y}{x^2 - y^2}$。
计算$A+B$：
$A+B = \frac{x}{x^2 - y^2} + (-\frac{y}{x^2 - y^2}) = \frac{x - y}{x^2 - y^2} = \frac{x - y}{(x+y)(x-y)}$，
当$x ≠ y$时，约分得$A+B = \frac{1}{x+y}$。
由$A+B=2$，得$\frac{1}{x+y}=2$，即$x+y = \frac{1}{2}$ ①。
计算$A-B$：
$A-B = \frac{x}{x^2 - y^2} - (-\frac{y}{x^2 - y^2}) = \frac{x + y}{x^2 - y^2} = \frac{x + y}{(x+y)(x-y)}$，
当$x ≠ -y$时，约分得$A-B = \frac{1}{x - y}$。
由$A-B=-1$，得$\frac{1}{x - y}=-1$，即$x - y = -1$ ②。
联立①②，得方程组：
$\begin{cases}x + y = \frac{1}{2} \\x - y = -1\end{cases}$
①+②得：$2x = -\frac{1}{2}$，解得$x = -\frac{1}{4}$。
将$x = -\frac{1}{4}$代入①得：$-\frac{1}{4} + y = \frac{1}{2}$，解得$y = \frac{3}{4}$。
检验：当$x=-\frac{1}{4}$，$y=\frac{3}{4}$时，$x^2 - y^2 = -\frac{1}{2} ≠ 0$，分式有意义。
综上，$x = -\frac{1}{4}$，$y = \frac{3}{4}$。

7. 我们知道分式和分数有很多相似点，类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质。小学里，把分子比分母小的分数叫作真分数。类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式。任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如$\frac{x + 1}{x - 1}=\frac{x - 1 + 2}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{2}{x - 1}=1+\frac{2}{x - 1}$。
(1) 下列分式中，属于真分式的是。
A. $\frac{x^2}{x - 1}$
B. $\frac{x - 1}{x + 1}$
C. $-\frac{3}{2x - 1}$
D. $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$

C

根据真分式的定义（分子的次数小于分母的次数的分式），逐一分析选项：
A选项：分子次数为2，分母次数为1，2＞1，是假分式；
B选项：分子次数为1，分母次数为1，次数相等，是假分式；
C选项：分子次数为0，分母次数为1，0＜1，是真分式；
D选项：分子次数为2，分母次数为2，次数相等，是假分式。
综上，属于真分式的是C选项。

★(2) 将假分式$\frac{m^2 + 3}{m + 1}$化成整式与真分式的和的形式。

解：
$\frac{m^2 + 3}{m + 1}$
$=\frac{m^2 - 1 + 4}{m + 1}$
$=\frac{(m + 1)(m - 1) + 4}{m + 1}$
$=\frac{(m + 1)(m - 1)}{m + 1} + \frac{4}{m + 1}$
$=m - 1 + \frac{4}{m + 1}$