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活动一:算一算 画一画
(1) 在图 11 - 1 中,小正方形的边长为 1. 矩形 ABCD 的面积是多少?
(2) 在图 11 - 2 中,小正方形的边长为 1,画出矩形 EFGH,使$EF=\sqrt{2},FG=\sqrt{18}$. 矩形 EFGH 的面积是多少?
(1) 在图 11 - 1 中,小正方形的边长为 1. 矩形 ABCD 的面积是多少?
(2) 在图 11 - 2 中,小正方形的边长为 1,画出矩形 EFGH,使$EF=\sqrt{2},FG=\sqrt{18}$. 矩形 EFGH 的面积是多少?
答案
(1)
矩形 $ABCD$ 的顶点处于格点上，可以通过计算矩形的长和宽来求面积。
$AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$BC= \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$（或通过对称性直接得出），
$AC（对角线，此处仅用于验证矩形，不直接用于面积计算）= \sqrt{3^2 + 1^2} =\sqrt{10}$，
由于$AB^2+BC^2=5+5=10=AC^2$，满足勾股定理，$ABCD$为直角四边形，又因为邻边不相等，因此为矩形。
面积 $S = AB × BC$（长乘以宽）中的宽也可以看作与AB垂直的边$DA=\sqrt{1^2+3^2} =\sqrt{10}$ 中在网格上垂直于AB的“高度”（即短边长度，为$\sqrt{(2-1)^2+(1-3)^2} =\sqrt{5}$的投影，但直接计算为对边$\sqrt{2^2+1^1} =\sqrt{5}$更方便），实际计算中直接使用对边长度：
$S = \sqrt{5} × \sqrt{5} = 5$，
或通过补形法，大正方形面积减去周围四个三角形面积：
$S= 3×3 -4×(1×2÷2)=5$，
所以矩形 $ABCD$ 的面积是 5。
(2)
依题意画图，$EF = \sqrt{2}$，$FG = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。
矩形 $EFGH$ 的面积：
$S = EF × FG = \sqrt{2} × 3\sqrt{2} = 6$，
所以矩形 $EFGH$ 的面积是 6。
矩形 $ABCD$ 的顶点处于格点上，可以通过计算矩形的长和宽来求面积。
$AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$BC= \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$（或通过对称性直接得出），
$AC（对角线，此处仅用于验证矩形，不直接用于面积计算）= \sqrt{3^2 + 1^2} =\sqrt{10}$，
由于$AB^2+BC^2=5+5=10=AC^2$，满足勾股定理，$ABCD$为直角四边形，又因为邻边不相等，因此为矩形。
面积 $S = AB × BC$（长乘以宽）中的宽也可以看作与AB垂直的边$DA=\sqrt{1^2+3^2} =\sqrt{10}$ 中在网格上垂直于AB的“高度”（即短边长度，为$\sqrt{(2-1)^2+(1-3)^2} =\sqrt{5}$的投影，但直接计算为对边$\sqrt{2^2+1^1} =\sqrt{5}$更方便），实际计算中直接使用对边长度：
$S = \sqrt{5} × \sqrt{5} = 5$，
或通过补形法，大正方形面积减去周围四个三角形面积：
$S= 3×3 -4×(1×2÷2)=5$，
所以矩形 $ABCD$ 的面积是 5。
(2)
依题意画图，$EF = \sqrt{2}$，$FG = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。
矩形 $EFGH$ 的面积：
$S = EF × FG = \sqrt{2} × 3\sqrt{2} = 6$，
所以矩形 $EFGH$ 的面积是 6。
解析
【解析】
(1) 方法一：利用勾股定理计算矩形的长和宽。
矩形ABCD的顶点在格点上，$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
矩形面积$S=AB×BC=\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$；
方法二：补形法，用大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积，
大正方形面积为$3×3=9$，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}×1×2=1$，四个三角形总面积为$4×1=4$，
所以矩形ABCD的面积$S=9-4=5$。
(2) 画图方法：$EF=\sqrt{2}$，可画为边长为1的小正方形的对角线；$FG=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，可画为边长为3的正方形的对角线（或由3个边长为1的小正方形对角线拼接），以此画出矩形EFGH。
矩形面积计算：$S=EF×FG=\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$。
【答案】
(1) 矩形ABCD的面积是5；
(2) 矩形EFGH的面积是6（画图略）。
【知识点】
勾股定理、矩形面积公式、二次根式运算
【点评】
本题考查勾股定理在格点图形中的应用，以及矩形面积计算和二次根式的乘法运算，通过数形结合的方式，帮助学生理解格点图形中边长的计算方法，提升几何直观能力。
【难度系数】
0.8
(1) 方法一：利用勾股定理计算矩形的长和宽。
矩形ABCD的顶点在格点上，$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
矩形面积$S=AB×BC=\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$；
方法二：补形法，用大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积，
大正方形面积为$3×3=9$，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}×1×2=1$，四个三角形总面积为$4×1=4$，
所以矩形ABCD的面积$S=9-4=5$。
(2) 画图方法：$EF=\sqrt{2}$，可画为边长为1的小正方形的对角线；$FG=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，可画为边长为3的正方形的对角线（或由3个边长为1的小正方形对角线拼接），以此画出矩形EFGH。
矩形面积计算：$S=EF×FG=\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$。
【答案】
(1) 矩形ABCD的面积是5；
(2) 矩形EFGH的面积是6（画图略）。
【知识点】
勾股定理、矩形面积公式、二次根式运算
【点评】
本题考查勾股定理在格点图形中的应用，以及矩形面积计算和二次根式的乘法运算，通过数形结合的方式，帮助学生理解格点图形中边长的计算方法，提升几何直观能力。
【难度系数】
0.8
(1) 填空:
① $\sqrt{4}×\sqrt{25}=$, $\sqrt{4×25}=$;
② $\sqrt{9}×\sqrt{16}=$, $\sqrt{9×16}=$;
③ $\sqrt{(\frac{2}{3})^2}×\sqrt{(\frac{3}{5})^2}=$, $\sqrt{(\frac{2}{3})^2×(\frac{3}{5})^2}=$.
(2) 用符号语言表示你由(1)中式子得到的猜想,并与同学交流尝试证明.
① $\sqrt{4}×\sqrt{25}=$, $\sqrt{4×25}=$;
② $\sqrt{9}×\sqrt{16}=$, $\sqrt{9×16}=$;
③ $\sqrt{(\frac{2}{3})^2}×\sqrt{(\frac{3}{5})^2}=$, $\sqrt{(\frac{2}{3})^2×(\frac{3}{5})^2}=$.
(2) 用符号语言表示你由(1)中式子得到的猜想,并与同学交流尝试证明.
答案
(1)①10；10
②12；12
③$\frac{2}{5}$；$\frac{2}{5}$
(2)猜想：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）
证明：设$\sqrt{a} = m$，$\sqrt{b} = n$（$m ≥ 0$，$n ≥ 0$），则$a = m^2$，$b = n^2$。
$\sqrt{a} × \sqrt{b} = m × n = mn$，
$\sqrt{ab} = \sqrt{m^2n^2} = \sqrt{(mn)^2} = mn$，
所以$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。
②12；12
③$\frac{2}{5}$；$\frac{2}{5}$
(2)猜想：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）
证明：设$\sqrt{a} = m$，$\sqrt{b} = n$（$m ≥ 0$，$n ≥ 0$），则$a = m^2$，$b = n^2$。
$\sqrt{a} × \sqrt{b} = m × n = mn$，
$\sqrt{ab} = \sqrt{m^2n^2} = \sqrt{(mn)^2} = mn$，
所以$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。
解析
【解析】
(1)①先计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{25}=5$，则$\sqrt{4}×\sqrt{25}=2×5=10$；$\sqrt{4×25}=\sqrt{100}=10$。
②$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，则$\sqrt{9}×\sqrt{16}=3×4=12$；$\sqrt{9×16}=\sqrt{144}=12$。
③$\sqrt{(\frac{2}{3})^2}=\frac{2}{3}$，$\sqrt{(\frac{3}{5})^2}=\frac{3}{5}$，则$\sqrt{(\frac{2}{3})^2}×\sqrt{(\frac{3}{5})^2}=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$；$\sqrt{(\frac{2}{3})^2×(\frac{3}{5})^2}=\sqrt{(\frac{2}{5})^2}=\frac{2}{5}$。
(2)根据(1)的计算结果提出猜想，再利用算术平方根定义证明：
猜想：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）
证明：设$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$（$m≥0$，$n≥0$），则$a=m^2$，$b=n^2$。
左边$\sqrt{a}×\sqrt{b}=m×n=mn$，
右边$\sqrt{ab}=\sqrt{m^2n^2}=\sqrt{(mn)^2}=mn$，
故$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）成立。
【答案】
(1)①10；10
②12；12
③$\frac{2}{5}$；$\frac{2}{5}$
(2)猜想：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）
证明：设$\sqrt{a} = m$，$\sqrt{b} = n$（$m ≥ 0$，$n ≥ 0$），则$a = m^2$，$b = n^2$。
$\sqrt{a} × \sqrt{b} = m × n = mn$，
$\sqrt{ab} = \sqrt{m^2n^2} = \sqrt{(mn)^2} = mn$，
所以$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。
【知识点】
二次根式乘法法则，算术平方根性质
【点评】
本题通过具体算式的计算归纳出二次根式乘法法则，渗透了从特殊到一般的数学思想，帮助理解法则的推导过程，提升归纳推理与逻辑证明能力。
【难度系数】
0.8
(1)①先计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{25}=5$，则$\sqrt{4}×\sqrt{25}=2×5=10$；$\sqrt{4×25}=\sqrt{100}=10$。
②$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，则$\sqrt{9}×\sqrt{16}=3×4=12$；$\sqrt{9×16}=\sqrt{144}=12$。
③$\sqrt{(\frac{2}{3})^2}=\frac{2}{3}$，$\sqrt{(\frac{3}{5})^2}=\frac{3}{5}$，则$\sqrt{(\frac{2}{3})^2}×\sqrt{(\frac{3}{5})^2}=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$；$\sqrt{(\frac{2}{3})^2×(\frac{3}{5})^2}=\sqrt{(\frac{2}{5})^2}=\frac{2}{5}$。
(2)根据(1)的计算结果提出猜想，再利用算术平方根定义证明：
猜想：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）
证明：设$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$（$m≥0$，$n≥0$），则$a=m^2$，$b=n^2$。
左边$\sqrt{a}×\sqrt{b}=m×n=mn$，
右边$\sqrt{ab}=\sqrt{m^2n^2}=\sqrt{(mn)^2}=mn$，
故$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）成立。
【答案】
(1)①10；10
②12；12
③$\frac{2}{5}$；$\frac{2}{5}$
(2)猜想：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）
证明：设$\sqrt{a} = m$，$\sqrt{b} = n$（$m ≥ 0$，$n ≥ 0$），则$a = m^2$，$b = n^2$。
$\sqrt{a} × \sqrt{b} = m × n = mn$，
$\sqrt{ab} = \sqrt{m^2n^2} = \sqrt{(mn)^2} = mn$，
所以$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。
【知识点】
二次根式乘法法则，算术平方根性质
【点评】
本题通过具体算式的计算归纳出二次根式乘法法则，渗透了从特殊到一般的数学思想，帮助理解法则的推导过程，提升归纳推理与逻辑证明能力。
【难度系数】
0.8
(3) 如何利用二次根式乘法的性质进行化简? 请化简$\sqrt{18}$.
答案
二次根式乘法的性质：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，反之$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$。
化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
结论：$3\sqrt{2}$
化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
结论：$3\sqrt{2}$
解析
【解析】
二次根式乘法的性质：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，其逆用为$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$。利用该逆用性质化简二次根式时，可将被开方数拆分为一个完全平方数与另一个非负整数的乘积，再分别开方。
化简$\sqrt{18}$的步骤：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法性质、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式乘法性质的逆运用，掌握该性质是进行二次根式化简的关键，属于基础题型，可帮助巩固二次根式的基本运算能力。
【难度系数】
0.9
二次根式乘法的性质：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，其逆用为$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$。利用该逆用性质化简二次根式时，可将被开方数拆分为一个完全平方数与另一个非负整数的乘积，再分别开方。
化简$\sqrt{18}$的步骤：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法性质、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式乘法性质的逆运用，掌握该性质是进行二次根式化简的关键，属于基础题型，可帮助巩固二次根式的基本运算能力。
【难度系数】
0.9
(4) 如何计算$2\sqrt{3}×3\sqrt{15}$?
答案
$2\sqrt{3} × 3\sqrt{15}$
$= (2 × 3) × \sqrt{3 × 15}$
$= 6 × \sqrt{45}$
由于$45 = 9 × 5=3^2 × 5$，
所以，可以将45分解为$3^2 × 5$，从而进一步化简根式：
原式$= 6 × \sqrt{3^2 × 5}$
$= 6 × 3\sqrt{5}$
$= 18\sqrt{5}$
所以，$2\sqrt{3} × 3\sqrt{15} = 18\sqrt{5}$。
$= (2 × 3) × \sqrt{3 × 15}$
$= 6 × \sqrt{45}$
由于$45 = 9 × 5=3^2 × 5$，
所以，可以将45分解为$3^2 × 5$，从而进一步化简根式：
原式$= 6 × \sqrt{3^2 × 5}$
$= 6 × 3\sqrt{5}$
$= 18\sqrt{5}$
所以，$2\sqrt{3} × 3\sqrt{15} = 18\sqrt{5}$。
解析
【解析】
根据二次根式乘法法则，将系数与二次根式分别相乘：
$2\sqrt{3} × 3\sqrt{15}$
$= (2 × 3) × \sqrt{3 × 15}$
$= 6 × \sqrt{45}$
由于$45 = 9 × 5=3^2 × 5$，将45分解为$3^2 × 5$后进一步化简根式：
原式$= 6 × \sqrt{3^2 × 5}$
$= 6 × 3\sqrt{5}$
$= 18\sqrt{5}$
【答案】
$18\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式乘法运算、根式化简
【点评】
本题考查二次根式的乘法运算与化简，需熟练掌握二次根式乘法法则，学会通过分解被开方数的质因数来化简二次根式，夯实根式运算的基础能力。
【难度系数】
0.6
根据二次根式乘法法则，将系数与二次根式分别相乘：
$2\sqrt{3} × 3\sqrt{15}$
$= (2 × 3) × \sqrt{3 × 15}$
$= 6 × \sqrt{45}$
由于$45 = 9 × 5=3^2 × 5$，将45分解为$3^2 × 5$后进一步化简根式：
原式$= 6 × \sqrt{3^2 × 5}$
$= 6 × 3\sqrt{5}$
$= 18\sqrt{5}$
【答案】
$18\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式乘法运算、根式化简
【点评】
本题考查二次根式的乘法运算与化简，需熟练掌握二次根式乘法法则，学会通过分解被开方数的质因数来化简二次根式，夯实根式运算的基础能力。
【难度系数】
0.6
