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(2)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作. 从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前 3 天完成此项工作. 设甲志愿者计划完成此项工作需用$x$天，用方程表示问题中的数量关系为()。
A.$\dfrac{x - 3}{x} + \dfrac{x - 5}{x} = 1$
B.$\dfrac{x - 2}{x} + \dfrac{x - 5}{x} = 1$
C.$\dfrac{x - 3}{x} + \dfrac{x - 2}{x} = 1$
D.$\dfrac{2(x - 3)}{x} = 1$
A.$\dfrac{x - 3}{x} + \dfrac{x - 5}{x} = 1$
B.$\dfrac{x - 2}{x} + \dfrac{x - 5}{x} = 1$
C.$\dfrac{x - 3}{x} + \dfrac{x - 2}{x} = 1$
D.$\dfrac{2(x - 3)}{x} = 1$
答案
B
解析
设工作总量为1，甲计划x天完成，则甲、乙效率均为$\frac{1}{x}$。实际提前3天完成，故实际用时$x-3$天。甲工作了$x-3$天，乙从第3个工作日加入，工作了$(x-3)-2=x-5$天。甲工作量为$\frac{x-3}{x}$，乙工作量为$\frac{x-5}{x}$，总工作量为1，方程为$\frac{x-3}{x}+\frac{x-5}{x}=1$。
3. 化简：
（1）$\dfrac{- a^{3}b}{2c} ÷ \dfrac{5ab^{2}}{- 6cd}$；
（2）$\dfrac{y - 3}{4y - 8} ÷ (y + 2 - \dfrac{5}{y - 2})$；
（3）$(x - y + \dfrac{4xy}{x - y})(x + y - \dfrac{4xy}{x + y})$；
（4）$1 - \dfrac{a - 1}{a} ÷ (\dfrac{a}{a + 2} - \dfrac{1}{a^{2} + 2a})$。
（1）$\dfrac{- a^{3}b}{2c} ÷ \dfrac{5ab^{2}}{- 6cd}$；
（2）$\dfrac{y - 3}{4y - 8} ÷ (y + 2 - \dfrac{5}{y - 2})$；
（3）$(x - y + \dfrac{4xy}{x - y})(x + y - \dfrac{4xy}{x + y})$；
（4）$1 - \dfrac{a - 1}{a} ÷ (\dfrac{a}{a + 2} - \dfrac{1}{a^{2} + 2a})$。
答案
（2）B；
（1）C；
（3）B；
（4）A
（1）C；
（3）B；
（4）A
解析
（2)
首先对分母进行通分：
$y+2-\frac{5}{y-2}=\frac{(y+2)(y-2)}{y-2}-\frac{5}{y-2}=\frac{y^2-4-5}{y-2}=\frac{y^2-9}{y-2}$
对原式进行化简：
$\frac{y-3}{4y-8}÷(y+2-\frac{5}{y-2})=\frac{y-3}{4(y-2)}÷\frac{y^2-9}{y-2}$
将除法转化为乘法，并化简：
$\frac{y-3}{4(y-2)}×\frac{y-2}{(y+3)(y-3)}=\frac{1}{4(y+3)}$
（1）
将除法转化为乘法，并化简：
$\frac{-a^3b}{2c}÷\frac{5ab^2}{-6cd}=\frac{-a^3b}{2c}×\frac{-6cd}{5ab^2}=\frac{3a^2d}{5b}$
（3）
首先对每个括号内的分式进行通分和化简：
$x-y+\frac{4xy}{x-y}=\frac{(x-y)^2+4xy}{x-y}=\frac{x^2-2xy+y^2+4xy}{x-y}=\frac{x^2+2xy+y^2}{x-y}=\frac{(x+y)^2}{x-y}$
$x+y-\frac{4xy}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{x+y}=\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x+y}=\frac{x^2-2xy+y^2}{x+y}=\frac{(x-y)^2}{x+y}$
将两个化简后的式子相乘：
$\frac{(x+y)^2}{x-y}×\frac{(x-y)^2}{x+y}=(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
（4）
首先对括号内的分式进行通分和化简：
$\frac{a}{a+2}-\frac{1}{a^2+2a}=\frac{a^2-1}{a(a+2)}=\frac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)}$
将除法转化为乘法，并进行化简：
$1-\frac{a-1}{a}÷\frac{a^2-1}{a(a+2)}=1-\frac{a-1}{a}×\frac{a(a+2)}{(a+1)(a-1)}=1-\frac{a+2}{a+1}=\frac{a+1-a-2}{a+1}=-\frac{1}{a+1}$
首先对分母进行通分：
$y+2-\frac{5}{y-2}=\frac{(y+2)(y-2)}{y-2}-\frac{5}{y-2}=\frac{y^2-4-5}{y-2}=\frac{y^2-9}{y-2}$
对原式进行化简：
$\frac{y-3}{4y-8}÷(y+2-\frac{5}{y-2})=\frac{y-3}{4(y-2)}÷\frac{y^2-9}{y-2}$
将除法转化为乘法，并化简：
$\frac{y-3}{4(y-2)}×\frac{y-2}{(y+3)(y-3)}=\frac{1}{4(y+3)}$
（1）
将除法转化为乘法，并化简：
$\frac{-a^3b}{2c}÷\frac{5ab^2}{-6cd}=\frac{-a^3b}{2c}×\frac{-6cd}{5ab^2}=\frac{3a^2d}{5b}$
（3）
首先对每个括号内的分式进行通分和化简：
$x-y+\frac{4xy}{x-y}=\frac{(x-y)^2+4xy}{x-y}=\frac{x^2-2xy+y^2+4xy}{x-y}=\frac{x^2+2xy+y^2}{x-y}=\frac{(x+y)^2}{x-y}$
$x+y-\frac{4xy}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{x+y}=\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x+y}=\frac{x^2-2xy+y^2}{x+y}=\frac{(x-y)^2}{x+y}$
将两个化简后的式子相乘：
$\frac{(x+y)^2}{x-y}×\frac{(x-y)^2}{x+y}=(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
（4）
首先对括号内的分式进行通分和化简：
$\frac{a}{a+2}-\frac{1}{a^2+2a}=\frac{a^2-1}{a(a+2)}=\frac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)}$
将除法转化为乘法，并进行化简：
$1-\frac{a-1}{a}÷\frac{a^2-1}{a(a+2)}=1-\frac{a-1}{a}×\frac{a(a+2)}{(a+1)(a-1)}=1-\frac{a+2}{a+1}=\frac{a+1-a-2}{a+1}=-\frac{1}{a+1}$
4. 解下列方程：
（1）$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{3}{x}$；
（2）$\dfrac{5}{y^{2} + y} - \dfrac{1}{y^{2} - y} = 0$；
（3）$\dfrac{5x - 4}{2x - 4} = \dfrac{2x + 5}{3x - 6} - \dfrac{1}{2}$；
（4）$\dfrac{x - 2}{x + 2} + \dfrac{4}{x^{2} - 4} = 1$。
（1）$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{3}{x}$；
（2）$\dfrac{5}{y^{2} + y} - \dfrac{1}{y^{2} - y} = 0$；
（3）$\dfrac{5x - 4}{2x - 4} = \dfrac{2x + 5}{3x - 6} - \dfrac{1}{2}$；
（4）$\dfrac{x - 2}{x + 2} + \dfrac{4}{x^{2} - 4} = 1$。
答案
$y = \frac{3}{2}$
解析
方程两边同乘最简公分母$y(y+1)(y-1)$，得$5(y - 1) - (y + 1) = 0$。展开得$5y - 5 - y - 1 = 0$，合并同类项得$4y - 6 = 0$，解得$y = \frac{3}{2}$。检验：当$y = \frac{3}{2}$时，$y(y+1)(y-1) = \frac{3}{2}×\frac{5}{2}×\frac{1}{2} = \frac{15}{8} ≠ 0$，所以$y = \frac{3}{2}$是原方程的解。
