11. 如图,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,M,N分别是线段BC,DE的中点.
(1)求证：MN⊥DE；
(2)若∠A= 45°,探究MN与DE的数量关系并加以证明.

(1)证明：
∵CD，BE是△ABC的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，
∵M是BC中点，∴在Rt△BDC中，DM=1/2BC；在Rt△BEC中，EM=1/2BC，
∴DM=EM，△DME是等腰三角形，
∵N是DE中点，∴MN⊥DE（等腰三角形三线合一）。
(2)MN=1/2DE，证明如下：
∵∠A=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ACD=∠ABE=45°，
∴AD=CD，AE=BE，设AD=CD=a，AE=BE=b，
在Rt△ADC中，AC=√(AD²+CD²)=a√2；在Rt△AEB中，AB=√(AE²+BE²)=b√2，
由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB·AC·cos45°=2b²+2a²-2·b√2·a√2·(√2/2)=2(a²+b²-ab√2)，
DE²=AD²+AE²-2AD·AE·cos45°=a²+b²-ab√2，∴BC²=2DE²，即BC=√2DE，
∵M是BC中点，∴DM=1/2BC=√2DE/2，
∵N是DE中点，DN=DE/2，在Rt△DNM中，MN²=DM²-DN²=( (√2DE/2)² )-(DE/2)²=DE²/4，
∴MN=DE/2，即MN=1/2DE。