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6. 如图,已知正方形$ABCD$和正方形$CEFG$,点$D$在$CG$上,$BC=CD=1$,$CE=3$,$H$是$AF$的中点,那么$CH$的长是(
A. 2.5
B. $\sqrt{5}$
C. $\sqrt{10}$
D. 2
B
)A. 2.5
B. $\sqrt{5}$
C. $\sqrt{10}$
D. 2
答案
6. B
7. 如图,$P$是正方形$ABCD$的对角线$AC$上的一点,$PE⊥ AD$于点$E$.$AE=3$,则点$P$到直线$AB$的距离为
3
.答案
7. 3
8. 如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,不添加任何辅助线,只添加一个条件
$AC=BD$
,可证明四边形$ABCD$是正方形(填一个即可).答案
8. $AC=BD$
9. 如图,分别以正方形$ABCD$的边长$AB$和$CD$为斜边向内作$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$,连接$EF$,若已知$∠ AEB=∠ CFD=90°$,$AE=CF$,$\mathrm{Rt}△ ABE$的面积为8,$EF=3\sqrt{2}$,则正方形$ABCD$的面积为
41
.答案
9. 41
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ CAB=90°$,$AD$是$BC$边上的中线,以$AD,CD$为边作平行四边形$ADCF$,连接$BF$,$BF$分别与$AD,AC$相交于点$E,G$.
(1)当$△ ABC$满足什么条件时,四边形$ADCF$为正方形? 说明理由；
(2)在(1)的条件下,若$AB=6$,求$EF$的长.
(1)当$△ ABC$满足什么条件时,四边形$ADCF$为正方形? 说明理由；
(2)在(1)的条件下,若$AB=6$,求$EF$的长.
答案
10. 解：(1)当$△ ABC$满足$AC=AB$时,四边形$ADCF$为正方形,理由如下：
$\because ∠ CAB=90°,AC=AB,AD$是$BC$边上的中线,
$\therefore AD=CD=BD,AD\bot BC$.
$\because$四边形$ADCF$是平行四边形,且$AD=CD$,
$\therefore$平行四边形$ADCF$是菱形.
$\because AD\bot BC$,
$\therefore$四边形$ADCF$为正方形.
(2)由(1)得,$∠ ADB=90°$.
$\because AD=BD,AB=6$,
$\therefore AD=BD=AF=3\sqrt{2}$.
$\because$四边形$ADCF$为正方形,
$\therefore ∠ FAD=90°,AF// CD$.
在$△ FAE$和$△ BDE$中,
$\begin{cases}∠ AEF=∠ DEB, \\∠ FAE=∠ BDE=90°, \\AF=BD,\end{cases}$
$\therefore △ FAE≌△ BDE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AE=DE=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}×3\sqrt{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2},EF=BE$.
$\therefore EF=BE=\sqrt{AF^{2}+AE^{2}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$.
$\because ∠ CAB=90°,AC=AB,AD$是$BC$边上的中线,
$\therefore AD=CD=BD,AD\bot BC$.
$\because$四边形$ADCF$是平行四边形,且$AD=CD$,
$\therefore$平行四边形$ADCF$是菱形.
$\because AD\bot BC$,
$\therefore$四边形$ADCF$为正方形.
(2)由(1)得,$∠ ADB=90°$.
$\because AD=BD,AB=6$,
$\therefore AD=BD=AF=3\sqrt{2}$.
$\because$四边形$ADCF$为正方形,
$\therefore ∠ FAD=90°,AF// CD$.
在$△ FAE$和$△ BDE$中,
$\begin{cases}∠ AEF=∠ DEB, \\∠ FAE=∠ BDE=90°, \\AF=BD,\end{cases}$
$\therefore △ FAE≌△ BDE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AE=DE=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}×3\sqrt{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2},EF=BE$.
$\therefore EF=BE=\sqrt{AF^{2}+AE^{2}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$.
